Jedynka trygonometryczna i wzór na tangens

W trygonometrii szkolnej bardzo ważne są dwa związki między funkcjami kąta: jedynka trygonometryczna oraz wzór na tangens. Pierwszy mówi, że dla każdego kąta $\alpha$ zachodzi równość $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Drugi ma postać $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ i pozwala obliczyć tangens, gdy znamy sinus i cosinus.

Te wzory są podstawą wielu prostych zadań rachunkowych. Służą do sprawdzania, czy podane wartości są możliwe, do obliczania brakującej wartości funkcji oraz do przekształcania wyrażeń. Trzeba przy tym pamiętać, że zapis $\sin^2\alpha$ oznacza $(\sin\alpha)^2$, a $\cos^2\alpha$ oznacza $(\cos\alpha)^2$.

Jedynka trygonometryczna pozwala wyznaczyć sinus z cosinusa albo cosinus z sinusa. Jeśli znamy $\sin\alpha$, to przekształcamy wzór do postaci $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$. Jeśli znamy $\cos\alpha$, to mamy $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

Po obliczeniu kwadratu brakującej funkcji zwykle trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek. Wtedy pojawia się ważna sprawa: z równania typu $x^2 = a$ otrzymujemy zwykle dwie możliwości, czyli $x = \pm\sqrt{a}$. Dlatego z samej jedynki nie da się od razu ustalić znaku funkcji.

Przykładowo, jeśli $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, to $\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Stąd $\cos\alpha = \pm\frac{4}{5}$. Aby wybrać, czy ma być plus czy minus, trzeba znać dodatkowy warunek, na przykład przedział, w którym leży kąt.

Tangens kąta wyraża się przez sinus i cosinus wzorem $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Jest to bardzo wygodne, bo gdy znamy obie wartości, możemy natychmiast policzyć tangens jako zwykły iloraz.

Trzeba jednak sprawdzić warunek $\cos\alpha \neq 0$. Jeśli cosinus jest równy zero, pojawia się dzielenie przez zero, a wtedy tangens nie istnieje. To częsty błąd w zadaniach: uczeń podstawia dane do wzoru bez sprawdzenia mianownika.

Znak tangensa zależy od znaków sinusa i cosinusa. Jeśli mają ten sam znak, tangens jest dodatni. Jeśli znaki są różne, tangens jest ujemny. Gdy $\sin\alpha = 0$ i jednocześnie $\cos\alpha \neq 0$, wtedy tangens jest równy $0$.

W typowych zadaniach najpierw używa się jedynki trygonometrycznej, a potem wzoru na tangens. Na przykład, gdy podano $\sin\alpha = \frac{8}{17}$ i wiadomo, że $\cos\alpha < 0$, najpierw liczymy $\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = \frac{225}{289}$. Otrzymujemy więc $\cos\alpha = -\frac{15}{17}$, bo znak ma być ujemny.

Następnie obliczamy tangens:

• $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
• $\tg\alpha = \frac{8/17}{-15/17} = -\frac{8}{15}$

Takie zadania sprawdzają nie tylko znajomość wzorów, ale też umiejętność poprawnego wyboru znaku i ostrożnego przekształcania ułamków.

Jedynka trygonometryczna pozwala szybko sprawdzić, czy podane wartości sinusa i cosinusa mogą dotyczyć tego samego kąta. Wystarczy obliczyć sumę ich kwadratów. Jeśli wynik nie jest równy $1$, dane są sprzeczne.

Na przykład para $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ i $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ jest poprawna, bo $\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$. Natomiast para $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ i $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ jest niemożliwa, bo wtedy suma kwadratów wynosi $\frac{32}{25}$.

To ważna umiejętność na sprawdzianie i maturze, bo niektóre odpowiedzi można odrzucić bez długich rachunków. Warto też pamiętać, że z warunku $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ wynika, że wartości sinusa i cosinusa mieszczą się w przedziale od $-1$ do $1$.

Najczęstszy błąd to pomijanie faktu, że po obliczeniu $\sin^2\alpha$ lub $\cos^2\alpha$ trzeba jeszcze ustalić znak wyniku. Drugi częsty błąd to nieuważne użycie wzoru $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ w sytuacji, gdy $\cos\alpha = 0$.

W zadaniach warto działać według prostego schematu:

• zapisz właściwy wzór,
• podstaw dane,
• oblicz kwadrat brakującej funkcji,
• po spierwiastkowaniu wybierz znak na podstawie warunku,
• dopiero potem licz tangens.

Dobrze jest też pilnować zapisu. Wyrażenie $\sin^2\alpha$ to nie to samo co $2\sin\alpha$, a $\tg\alpha$ to nie iloczyn sinusa i cosinusa. Staranny zapis zmniejsza liczbę pomyłek rachunkowych i pozwala łatwiej zauważyć sens rozwiązania.