Wartości trygonometryczne dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$

W liceum trzeba znać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$, bo są to tzw. kąty szczególne. Pojawiają się w zadaniach z trójkątów prostokątnych, planimetrii, geometrii analitycznej i stereometrii. Bardzo często nie trzeba wtedy używać kalkulatora, tylko rozpoznać odpowiedni trójkąt i skorzystać z gotowych zależności.

Dla kątów ostrych korzystamy z definicji w trójkącie prostokątnym. Sinus to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej. Tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.

Podstawą do wyznaczenia wartości dla kąta $45^\circ$ jest trójkąt prostokątny równoramienny. Jeśli każda przyprostokątna ma długość $1$, to z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{2}$.

Zatem:

• $\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\tg45^\circ=\frac{1}{1}=1$

Warto zauważyć, że w tym przypadku sinus i cosinus są równe, ponieważ obie przyprostokątne mają tę samą długość. To szybki sposób na sprawdzenie, czy wynik jest sensowny.

Wartości dla kątów $30^\circ$ i $60^\circ$ wyprowadza się z trójkąta równobocznego. Gdy podzielimy go wysokością, otrzymamy dwa przystające trójkąty prostokątne o kątach $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$.

Jeśli bok trójkąta równobocznego ma długość $2$, to połowa podstawy ma długość $1$, a wysokość z Pitagorasa ma długość $\sqrt{3}$. Otrzymujemy więc stosunek boków:

• krótsza przyprostokątna: $1$
• dłuższa przyprostokątna: $\sqrt{3}$
• przeciwprostokątna: $2$

Stąd:

• $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$
• $\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\tg30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos60^\circ=\frac{1}{2}$
• $\tg60^\circ=\sqrt{3}$

Między wartościami dla tych kątów widać kilka prostych zależności. Dla kątów dopełniających do $90^\circ$ zachodzi: $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$. Dlatego:

• $\sin30^\circ=\cos60^\circ$
• $\sin60^\circ=\cos30^\circ$

Dodatkowo dla kąta $45^\circ$ mamy równość:

• $\sin45^\circ=\cos45^\circ$

Warto też pamiętać, że tangens można liczyć ze wzoru:

• $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Dzięki temu łatwo sprawdzić wyniki:

• $\tg30^\circ=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
• $\tg45^\circ=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1$
• $\tg60^\circ=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

Przydatna jest także jedynka trygonometryczna:

• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

Można nią sprawdzać poprawność obliczeń, zwłaszcza dla kąta $45^\circ$.

W zadaniach maturalnych te wartości pojawiają się najczęściej przy obliczaniu długości boków, pól figur i miar kątów. Gdy w trójkącie prostokątnym znasz jeden bok i jeden z kątów równy $30^\circ$, $45^\circ$ albo $60^\circ$, zwykle można od razu zastosować odpowiednią wartość sinusa, cosinusa lub tangensa.

Często spotykane sytuacje:

• obliczanie brakującego boku w trójkącie prostokątnym,
• porównywanie wartości wyrażeń z funkcjami trygonometrycznymi,
• korzystanie ze wzoru na pole trójkąta $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$,
• sprawdzanie, czy wynik jest możliwy, na przykład czy cosinus nie wyszedł większy od $1$.

Dobrą strategią jest najpierw rozpoznać, z którym z dwóch trójkątów szczególnych mamy do czynienia, a dopiero potem liczyć. Jeśli w zadaniu pojawia się kąt $45^\circ$, myśl o trójkącie równoramiennym. Jeśli pojawia się $30^\circ$ lub $60^\circ$, myśl o połowie trójkąta równobocznego.