Ciąg geometryczny — wzór na n-ty wyraz

Ciąg geometryczny to taki ciąg liczb, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą stałą liczbę. Ta liczba to iloraz ciągu i oznaczamy ją przez $q$. Jeśli więc znamy jeden wyraz, to następny obliczamy przez mnożenie, a nie przez dodawanie.

Zależność między kolejnymi wyrazami zapisujemy jako $a_{n+1}=a_n\cdot q$. Oznacza to, że każdy wyraz zależy od poprzedniego. Gdy iloraz jest dodatni, znaki wyrazów się nie zmieniają; gdy $q<0$, wyrazy zwykle zmieniają znak naprzemiennie.

W odróżnieniu od ciągu arytmetycznego, gdzie stała jest różnica, tutaj stały jest stosunek kolejnych wyrazów. To najważniejsza cecha pozwalająca rozpoznać ciąg geometryczny.

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, o ile $a_n\neq 0$. Jeśli dla każdej pary kolejnych wyrazów otrzymujemy ten sam wynik, ciąg jest geometryczny.

Na przykład dla ciągu $2,6,18,54,\dots$ mamy $\frac{6}{2}=3$, $\frac{18}{6}=3$ i $\frac{54}{18}=3$, więc iloraz wynosi $q=3$. Dla ciągu $5,10,20,40,\dots$ iloraz wynosi $2$.

Szczególnym przypadkiem jest ciąg stały, na przykład $7,7,7,7,\dots$. Taki ciąg również może być geometryczny, bo każdy wyraz otrzymujemy przez mnożenie przez $1$. Wtedy $q=1$.

Najważniejszy wzór w tym temacie to $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. Oznacza on, że aby znaleźć $n$-ty wyraz, bierzemy pierwszy wyraz i mnożymy go przez iloraz podniesiony do potęgi o jeden mniejszej od numeru wyrazu.

Dlaczego pojawia się wykładnik $n-1$? Ponieważ od pierwszego wyrazu do $n$-tego wykonujemy dokładnie $n-1$ kroków mnożenia przez $q$. Dla drugiego wyrazu mamy jedno mnożenie, dla trzeciego dwa, i tak dalej.

Jeśli $a_1=5$ i $q=2$, to:

• $a_2=5\cdot 2^{1}=10$
• $a_3=5\cdot 2^{2}=20$
• $a_4=5\cdot 2^{3}=40$

Ten wzór pozwala obliczać od razu odległe wyrazy, bez wypisywania wszystkich po kolei.

W typowym zadaniu najpierw ustalamy, co jest dane: $a_1$, $q$, numer wyrazu albo wartość któregoś wyrazu. Następnie podstawiamy dane do wzoru $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

Przykład: dla $a_1=3$ i $q=2$ obliczamy piąty wyraz:

• $a_5=3\cdot 2^{5-1}$
• $a_5=3\cdot 2^4$
• $a_5=3\cdot 16=48$

Jeżeli znamy inny wyraz, na przykład $a_2=6$ i $q=3$, to korzystamy z zależności $a_2=a_1\cdot q$. Otrzymujemy $6=a_1\cdot 3$, więc $a_1=2$. Dopiero wtedy możemy zapisać pełny wzór ciągu.

Zachowanie ciągu geometrycznego zależy głównie od wartości $q$. Jeśli $q>1$ i pierwszy wyraz jest dodatni, ciąg rośnie. Jeśli $0<q<1$, kolejne dodatnie wyrazy maleją. Gdy $q=1$, ciąg jest stały.

Jeśli $q<0$, znaki kolejnych wyrazów zwykle się zmieniają, więc ciąg ma charakter naprzemienny. Na przykład dla $a_1=2$ i $q=-3$ otrzymujemy: $2,-6,18,-54,\dots$.

Warto też znać własność trzech kolejnych wyrazów $a,b,c$ ciągu geometrycznego: zachodzi wtedy $b^2=a\cdot c$. To szybki sposób sprawdzenia, czy trzy podane liczby mogą być kolejnymi wyrazami takiego ciągu.

Ta własność bywa przydatna w prostych zadaniach maturalnych, zwłaszcza wtedy, gdy trzeba wyznaczyć brakujący środkowy wyraz.

Najczęstszy błąd to pomylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym. W geometrycznym nie używamy wzoru $a_1+(n-1)r$, tylko $a_1\cdot q^{n-1}$. Trzeba też uważać, by poprawnie zapisać wykładnik: dla $a_4$ jest to $4-1=3$, a nie $4$.

Drugi częsty błąd to złe liczenie ilorazu. Należy dzielić wyraz następny przez poprzedni, czyli stosować wzór $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Odwrócenie ułamka daje błędny wynik.

W zadaniach maturalnych często pojawia się:

• rozpoznawanie, czy dany ciąg jest geometryczny,
• wyznaczanie ilorazu,
• obliczanie konkretnego wyrazu ze wzoru,
• uzupełnianie brakującego wyrazu,
• sprawdzanie zależności $b^2=a\cdot c$.

Dobrą strategią jest najpierw zapisać dane symbolicznie, a dopiero potem wykonywać rachunki. Dzięki temu łatwiej uniknąć pomyłek.