Ciąg arytmetyczny i geometryczny

W liceum często trzeba rozstrzygnąć, czy dany ciąg jest arytmetyczny, geometryczny, czy może nie należy do żadnego z tych typów. Najważniejsze jest rozumienie, co porównujemy: w ciągu arytmetycznym porównujemy różnice kolejnych wyrazów, a w ciągu geometrycznym porównujemy ilorazy kolejnych wyrazów.

Ciąg zapisujemy zwykle jako $a_1,a_2,a_3,\dots$ albo przez wzór ogólny $a_n$. Gdy mamy kilka pierwszych wyrazów, sprawdzenie polega na wykonaniu odpowiednich obliczeń między sąsiednimi wyrazami. Gdy mamy wzór, dobrze jest rozpoznać jego postać albo policzyć kilka kolejnych wyrazów i wyciągnąć wniosek.

Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica kolejnych wyrazów jest stała, czyli gdy dla odpowiednich numerów $n$ zachodzi $a_{n+1}-a_n=r$. Liczbę $r$ nazywamy różnicą ciągu. Może ona być dodatnia, ujemna albo równa $0$.

Jeśli dostajesz kolejne wyrazy, na przykład $3,7,11,15$, obliczasz różnice: $7-3$, $11-7$, $15-11$. Jeżeli wszystkie wyniki są równe, ciąg jest arytmetyczny. Jeśli choć jedna różnica jest inna, ciąg nie jest arytmetyczny.

Dla trzech kolejnych wyrazów przydaje się też warunek $2a_2=a_1+a_3$. Oznacza on, że wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych. Ten sposób bywa bardzo szybki w zadaniach zamkniętych.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego ma postać $a_n=a_1+(n-1)r$. Jeśli wzór da się sprowadzić do postaci liniowej względem $n$, zwykle mamy do czynienia właśnie z ciągiem arytmetycznym.

Ciąg jest geometryczny, gdy iloraz kolejnych wyrazów jest stały, czyli gdy dla odpowiednich numerów $n$ oraz przy $a_n\neq 0$ zachodzi $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$. Liczbę $q$ nazywamy ilorazem ciągu.

Jeżeli masz podane wyrazy, na przykład $2,6,18,54$, dzielisz każdy wyraz przez poprzedni: $\frac{6}{2}$, $\frac{18}{6}$, $\frac{54}{18}$. Jeżeli wszystkie ilorazy są równe, ciąg jest geometryczny. Jeśli nie, to nie jest geometryczny.

Dla trzech kolejnych wyrazów bardzo wygodny jest warunek $a_2^2=a_1a_3$. To odpowiednik średniej geometrycznej: kwadrat wyrazu środkowego musi być równy iloczynowi wyrazów skrajnych.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. Jeśli we wzorze pojawia się potęga zależna od $n$, bardzo często jest to sygnał, że ciąg może być geometryczny.

Szczególnym przypadkiem jest ciąg stały, na przykład $5,5,5,5$. Taki ciąg jest arytmetyczny, bo ma różnicę $r=0$. Jeżeli wszystkie wyrazy są niezerowe, to jest też geometryczny, bo jego iloraz wynosi $q=1$.

Częsty błąd polega na myleniu wzoru liniowego z wykładniczym. Wzór typu $a_n=2n+3$ opisuje zwykle ciąg arytmetyczny, bo przyrost jest stały. Z kolei wzór typu $a_n=3\cdot 2^{n-1}$ opisuje ciąg geometryczny, bo kolejne wyrazy powstają przez mnożenie przez tę samą liczbę.

Trzeba też uważać, by nie wyciągać wniosku zbyt szybko. To, że ciąg rośnie, nie znaczy jeszcze, że jest arytmetyczny albo geometryczny. Na przykład ciąg $1,4,9,16$ rośnie, ale różnice są równe $3,5,7$, więc nie jest arytmetyczny, a ilorazy też nie są stałe, więc nie jest geometryczny.

W zadaniach maturalnych spotyka się kilka typowych poleceń. Po pierwsze: sprawdź, czy podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego lub geometrycznego. Wtedy obliczasz odpowiednio różnice albo ilorazy i zapisujesz wniosek.

Po drugie: wyznacz parametr tak, aby trzy liczby tworzyły ciąg arytmetyczny lub geometryczny. W takim zadaniu najwygodniej użyć warunków $2a_2=a_1+a_3$ albo $a_2^2=a_1a_3$.

Po trzecie: rozpoznaj typ ciągu na podstawie wzoru $a_n$. Gdy wzór ma postać $a_n=a_1+(n-1)r$, ciąg jest arytmetyczny. Gdy ma postać $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, ciąg jest geometryczny.

Dobra strategia to:

• sprawdź, jakie dane podano: wyrazy czy wzór,
• wybierz właściwe narzędzie: różnice, ilorazy albo warunek dla trzech wyrazów,
• wykonaj obliczenia dokładnie,
• na końcu zapisz pełną odpowiedź, np. „ciąg jest arytmetyczny o różnicy $r=3$”.

Jeśli obliczenia nie dają stałej różnicy ani stałego ilorazu, należy jasno napisać, że ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny.