Ciąg arytmetyczny i suma początkowych wyrazów

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczb, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby. Ta stała liczba to różnica ciągu i oznaczamy ją zwykle przez $r$. Zależność między kolejnymi wyrazami zapisujemy jako $a_{n+1}=a_n+r$.

Jeżeli $r>0$, ciąg jest rosnący. Jeżeli $r<0$, ciąg jest malejący. Gdy $r=0$, wszystkie wyrazy są takie same, więc ciąg jest stały.

W zadaniach bardzo ważne jest odróżnianie numeru wyrazu od jego wartości. Symbol $a_5$ oznacza piąty wyraz, a nie iloczyn $a\cdot 5$.

Różnicę ciągu można obliczyć z dwóch kolejnych wyrazów ze wzoru $r=a_{n+1}-a_n$. Gdy znamy pierwszy wyraz $a_1$ i różnicę $r$, możemy wyznaczyć dowolny wyraz ciągu bez wypisywania wszystkich poprzednich.

Służy do tego wzór ogólny:

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Ten zapis oznacza, że od pierwszego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków, a każdy krok ma wartość $r$.

Przykładowo, jeśli $a_1=3$ i $r=2$, to:

• $a_2=5$
• $a_3=7$
• $a_4=9$

Suma pierwszych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego jest oznaczana przez $S_n$. Zapis $S_n$ oznacza dokładnie:

• $S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$

Najważniejszy wzór ma postać:

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

Jest on bardzo logiczny: bierzemy liczbę wyrazów, a następnie mnożymy ją przez średnią arytmetyczną pierwszego i ostatniego wyrazu.

Gdy nie znamy ostatniego wyrazu, wygodnie korzystać z równoważnej postaci:

$$S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)r]$$

Ten wzór otrzymujemy po podstawieniu do poprzedniego wzoru zależności $a_n=a_1+(n-1)r$.

W ciągu arytmetycznym bardzo często wykorzystuje się własność średniej. Każdy wyraz leżący między dwoma sąsiednimi jest ich średnią arytmetyczną:

$$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$

To oznacza, że wyraz środkowy leży dokładnie „pośrodku” dwóch sąsiednich wartości.

Podobnie, przy obliczaniu sumy pierwszych wyrazów można myśleć o parach: pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim i tak dalej. Każda taka para ma tę samą sumę, dlatego wzór na $S_n$ jest tak prosty.

W zadaniach maturalnych pojawiają się często polecenia typu:

• oblicz $S_n$, gdy znasz $a_1$, $r$ i $n$
• wyznacz $n$, gdy podano sumę i inne dane
• sprawdź, czy dane liczby mogą być kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
• wyznacz brakujący wyraz, korzystając z własności średniej

Najpierw ustal, jakie dane podaje treść: czy znasz $a_1$, $r$, $a_n$, czy może od razu sumę $S_n$. Następnie wybierz wzór, który prowadzi najkrótszą drogą do celu.

Jeśli masz dane $a_1$, $r$ i $n$, zwykle można:

• najpierw obliczyć $a_n$ ze wzoru ogólnego, a potem użyć wzoru na sumę,
• albo od razu skorzystać z postaci $S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)r]$.

Jeśli znasz $a_1$, $a_n$ i $n$, najwygodniejszy jest wzór $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$. Jeśli znasz kilka wyrazów ciągu, często najpierw trzeba obliczyć różnicę.

Częstym błędem jest podstawienie złego numeru wyrazu albo użycie wzoru dla ciągu geometrycznego zamiast arytmetycznego. Warto też sprawdzać, czy wynik ma sens: w ciągu rosnącym suma kolejnych dodatnich wyrazów powinna również rosnąć.

Rozważmy ciąg arytmetyczny, w którym $a_1=4$ i $r=3$. Oblicz sumę pierwszych $8$ wyrazów.

Najpierw wyznaczamy ósmy wyraz:

$$a_8=4+(8-1)\cdot 3=4+21=25$$

Teraz korzystamy ze wzoru na sumę:

$$S_8=\frac{8(4+25)}{2}=4\cdot 29=116$$

To samo zadanie można rozwiązać krócej drugim wzorem:

$$S_8=\frac{8}{2}[2\cdot 4+(8-1)\cdot 3]$$

$$S_8=4(8+21)=4\cdot 29=116$$

Wniosek: oba wzory są równoważne, ale w zależności od danych jeden może być wygodniejszy od drugiego. Na sprawdzianie warto wybrać ten, który wymaga mniej obliczeń i zmniejsza ryzyko błędu.