÷×

Ciąg arytmetyczny i wzór na $n$-ty wyraz

Matematyka

Zestaw wyjaśnia, czym jest ciąg arytmetyczny, jak rozpoznawać jego różnicę i jak stosować wzór na $n$ -ty wyraz. Nauczysz się obliczać kolejne wyrazy, sprawdzać, czy dany ciąg jest arytmetyczny, oraz rozwiązywać typowe zadania maturalne.

8 fiszek18 pytań · 2 etapynotatkaSzkoła średnia

Pobierz test do druku

1.Ciąg arytmetyczny

Ciąg liczbowy, w którym różnice kolejnych wyrazów są stałe. Oznacza to, że dla każdego odpowiedniego $n$ zachodzi zależność $a_{n+1}-a_n=r$ , gdzie $r$ jest stałą liczbą zwaną różnicą ciągu.

2.Różnica ciągu arytmetycznego

Stała liczba oznaczana zwykle przez $r$ , o którą różnią się dwa kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Obliczamy ją ze wzoru $r=a_{n+1}-a_n$ .

3.Wzór rekurencyjny

Sposób opisu ciągu przez podanie pierwszego wyrazu i reguły przejścia do następnego. Dla ciągu arytmetycznego ma postać: $a_1$ dane oraz $a_{n+1}=a_n+r$ .

4.Wzór na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego

Jeśli pierwszy wyraz ciągu to $a_1$ , a różnica wynosi $r$ , to $a_n=a_1+(n-1)r$ . Wzór pozwala obliczyć dowolny wyraz bez wyznaczania wszystkich wcześniejszych.

5.Pierwszy wyraz $a_1$

Wyraz rozpoczynający ciąg. We wzorze $a_n=a_1+(n-1)r$ jest punktem wyjścia do wyznaczania wszystkich kolejnych wyrazów.

6.Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Zależy od znaku różnicy $r$ . Gdy $r>0$ , ciąg jest rosnący; gdy $r<0$ , malejący; gdy $r=0$ , stały.

7.Wyraz środkowy

W trzech kolejnych wyrazach ciągu arytmetycznego wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych, czyli gdy $a$ , $b$ , $c$ są kolejne, to $b=\frac{a+c}{2}$ .

8.Sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny

Trzeba sprawdzić, czy różnice między kolejnymi wyrazami są jednakowe. Jeśli tak, ciąg jest arytmetyczny; jeśli nie, to nie jest arytmetyczny.

Notatka

Czym jest ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o tę samą liczbę. Ta stała liczba to różnica ciągu, oznaczana zwykle przez $r$ . Zapisujemy to zależnością $a_{n+1}-a_n=r$ albo równoważnie $a_{n+1}=a_n+r$ .

Jeżeli różnica jest dodatnia, to kolejne wyrazy rosną. Jeżeli jest ujemna, wyrazy maleją. Gdy różnica wynosi zero, wszystkie wyrazy są jednakowe i mamy ciąg stały.

Przykłady:

$2, 5, 8, 11, \ldots$ ma różnicę $r=3$
$10, 7, 4, 1, \ldots$ ma różnicę $r=-3$
$6, 6, 6, 6, \ldots$ ma różnicę $r=0$

Zapamiętaj

W ciągu arytmetycznym nie sprawdzamy ilorazów, tylko stałe różnice między kolejnymi wyrazami.

Wzór na $n$ -ty wyraz

Najważniejszy wzór ma postać: $a_n=a_1+(n-1)r$ . Oznacza on, że aby dojść od pierwszego wyrazu do wyrazu o numerze $n$ , wykonujemy dokładnie $n-1$ kroków, a każdy krok zmienia wartość o $r$ .

Interpretacja wzoru jest bardzo praktyczna:

$a_1$ to punkt startu
$n-1$ to liczba przejść do kolejnych wyrazów
$r$ to zmiana w jednym kroku

Dzięki temu wzorowi można obliczyć dowolny wyraz bez wypisywania całego ciągu. To szczególnie ważne w zadaniach, gdzie trzeba znaleźć na przykład $a_{20}$ albo $a_{100}$ .

Ważne

Częsty błąd to użycie $a_n=a_1+nr$ . We wzorze musi być $(n-1)$ , bo od $a_1$ do $a_n$ przechodzimy o jeden krok mniej niż numer wyrazu.

Jak stosować wzór w zadaniach

Jeżeli znamy $a_1$ i $r$ , podstawiamy je bezpośrednio do wzoru. Na przykład dla $a_1=4$ i $r=3$ dostajemy $a_7=4+(7-1)\cdot 3=4+18=22$ .

Można też działać w drugą stronę. Jeśli znamy jakiś wyraz, na przykład $a_5$ , oraz różnicę $r$ , to z równania $a_5=a_1+4r$ można wyznaczyć $a_1$ . Podobnie, jeśli znamy dwa wyrazy, można obliczyć różnicę.

Typowe sytuacje:

dane $a_1$ i $r$ → liczysz dowolne $a_n$
dane dwa kolejne wyrazy → liczysz $r$
dane $a_n$ i $r$ → liczysz $a_1$
dane wzór jawny → odczytujesz pierwszy wyraz i różnicę

Przykład

Jeśli $a_1=-2$ i $r=5$ , to $a_6=-2+(6-1)\cdot 5=-2+25=23$ .

Jak rozpoznać ciąg arytmetyczny

Aby sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny, obliczamy różnice między kolejnymi wyrazami. Jeżeli wszystkie są równe, ciąg spełnia definicję.

Przykład analizy:

dla ciągu $3, 7, 11, 15$ mamy różnice: $4$ , $4$ , $4$ — więc jest to ciąg arytmetyczny
dla ciągu $2, 4, 8, 16$ różnice to: $2$ , $4$ , $8$ — więc nie jest arytmetyczny

Warto też umieć rozpoznawać ciąg arytmetyczny ze wzoru. Jeśli wzór można zapisać w postaci liniowej względem $n$ , na przykład $a_n=5n-2$ , to taki ciąg jest arytmetyczny. Wtedy:

$a_1=5\cdot 1-2=3$
różnica wynosi $5$ , bo każdy kolejny numer zwiększa wartość o $5$

To bardzo częsty typ zadania maturalnego: trzeba stwierdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, a potem podać jego różnicę i pierwszy wyraz.

Własności przydatne na sprawdzianie i maturze

W ciągu arytmetycznym przydaje się własność, że wyraz środkowy trzech kolejnych wyrazów jest średnią arytmetyczną skrajnych. Jeśli trzy kolejne wyrazy to $a$ , $b$ , $c$ , to zachodzi $b=\frac{a+c}{2}$ .

Ta własność pomaga w zadaniach, gdzie trzeba uzupełnić brakujący wyraz. Na przykład między liczbami $9$ i $17$ wyraz środkowy wynosi $\frac{9+17}{2}=13$ .

Warto pamiętać też o związku różnicy z monotonicznością:

gdy $r>0$ , ciąg jest rosnący
gdy $r<0$ , ciąg jest malejący
gdy $r=0$ , ciąg jest stały

Na maturze często pojawiają się zadania tekstowe lub rachunkowe, w których trzeba:

obliczyć wskazany wyraz ciągu
zapisać wzór na $n$ -ty wyraz
wyznaczyć brakujące dane z podanych warunków
ocenić, czy dany ciąg jest arytmetyczny

Dobra strategia to zawsze najpierw ustalić, co jest znane: $a_1$ , $r$ , numer wyrazu lub wartość któregoś wyrazu. Dopiero potem podstawiać do odpowiedniego wzoru.