Badanie monotoniczności ciągu

Ciąg liczbowy to uporządkowany zbiór wyrazów zapisanych zwykle jako $a_1, a_2, a_3, \dots$. Badając monotoniczność, sprawdzamy, jak zachowują się kolejne wyrazy: czy rosną, maleją, czy pozostają stałe. To jedno z podstawowych pytań o własności ciągu w liceum.

Ciąg jest rosnący, gdy dla każdego dopuszczalnego $n$ zachodzi $a_{n+1} > a_n$. Jest malejący, gdy dla każdego $n$ mamy $a_{n+1} < a_n$. Jeśli natomiast $a_{n+1} = a_n$, to ciąg jest stały.

Spotyka się też pojęcia słabsze: ciąg niemalejący spełnia warunek $a_{n+1} \ge a_n$, a ciąg nierosnący warunek $a_{n+1} \le a_n$. W zadaniach szkolnych trzeba uważnie odróżniać nierówności ostre od nieostrych.

Najczęściej bada się monotoniczność przez porównanie dwóch kolejnych wyrazów: $a_{n+1}$ i $a_n$. W praktyce najwygodniej obliczyć różnicę $a_{n+1} - a_n$ i sprawdzić jej znak.

• jeśli $a_{n+1} - a_n > 0$, to ciąg jest rosnący,
• jeśli $a_{n+1} - a_n < 0$, to ciąg jest malejący,
• jeśli $a_{n+1} - a_n = 0$, to ciąg jest stały.

Ta metoda działa szczególnie dobrze dla wzorów liniowych i wielu prostych wzorów wymiernych. Czasem wystarczy też bezpośrednie porównanie $a_{n+1}$ i $a_n$ bez odejmowania, jeśli od razu widać, która liczba jest większa.

W niektórych zadaniach, zwłaszcza dla ciągów dodatnich lub geometrycznych, przydatny bywa iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Jeśli wszystkie wyrazy są dodatnie i ten iloraz jest większy od $1$, ciąg rośnie, a gdy mniejszy od $1$, maleje.

Jeżeli ciąg ma wzór liniowy, na przykład $a_n = 2n+1$, to łatwo policzyć:

• $a_{n+1} = 2(n+1)+1 = 2n+3$,
• $a_{n+1} - a_n = (2n+3) - (2n+1) = 2$.

Ponieważ otrzymana różnica jest dodatnia, ciąg jest rosnący. Podobnie dla $a_n = 7-3n$ dostajemy różnicę równą $-3$, więc ciąg jest malejący.

Przy wzorach takich jak $a_n = \frac{1}{n}$ warto spojrzeć na pierwsze wyrazy: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$. Widać, że wraz ze wzrostem $n$ mianownik rośnie, więc wartość ułamka maleje. Taki ciąg jest więc malejący.

Ciąg arytmetyczny ma postać, w której różnica kolejnych wyrazów jest stała i oznaczana przez $r$. Właśnie ta liczba decyduje o monotoniczności.

• gdy $r>0$, ciąg jest rosnący,
• gdy $r<0$, ciąg jest malejący,
• gdy $r=0$, ciąg jest stały.

To wynika bezpośrednio z definicji: każdy następny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby $r$. Dlatego w zadaniach o ciągu arytmetycznym zwykle nie trzeba wykonywać skomplikowanych obliczeń - wystarczy ustalić znak różnicy.

Warto pamiętać, że ciąg arytmetyczny można rozpoznać także po wzorze ogólnym typu $a_n = a_1 + (n-1)r$. Wtedy znak współczynnika przy $n$ prowadzi do tego samego wniosku o zachowaniu ciągu.

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez mnożenie poprzedniego przez stałą liczbę $q$, zwaną ilorazem. Przy badaniu monotoniczności trzeba jednak uważać bardziej niż w ciągu arytmetycznym.

Jeśli wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, to:

• dla $q>1$ ciąg jest rosnący,
• dla $0<q<1$ ciąg jest malejący,
• dla $q=1$ ciąg jest stały.

Gdy iloraz jest ujemny, wyrazy zwykle zmieniają znak naprzemiennie, więc ciąg najczęściej nie jest monotoniczny. Przykładem jest $a_n = (-1)^n$, gdzie kolejne wyrazy skaczą między $-1$ i $1$.

Najczęstszy błąd polega na sprawdzeniu tylko kilku początkowych wyrazów i wyciągnięciu ogólnego wniosku. To za mało - trzeba uzasadnić własność dla każdego $n$ z dziedziny ciągu.

Drugi częsty błąd to mylenie pojęć rosnący i niemalejący oraz malejący i nierosnący. W ciągu rosnącym kolejne wyrazy muszą być ściśle większe, a w niemalejącym mogą być również równe.

W zadaniach maturalnych warto działać schematycznie:

• zapisz wzór na $a_{n+1}$,
• oblicz $a_{n+1} - a_n$ albo porównaj $a_{n+1}$ z $a_n$,
• sprawdź znak otrzymanego wyrażenia,
• sformułuj odpowiedź pełnym zdaniem.

Dobrze jest też zawsze zaznaczyć, dla jakich $n$ rozpatrujesz ciąg, zwykle dla $n \in \mathbb{N}_+$. To ma znaczenie, bo znak wyrażenia może zależeć od tego, jakie wartości przyjmuje indeks.