Ciąg geometryczny i suma $n$ wyrazów

Ciąg geometryczny to taki ciąg liczb, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę. Ta stała liczba to iloraz ciągu i oznaczamy ją przez $q$. Jeśli pierwszy wyraz oznaczymy przez $a_1$, to kolejne wyrazy mają postać: $a_2=a_1q$, $a_3=a_1q^2$, $a_4=a_1q^3$.

Najważniejsza zależność rekurencyjna to $a_{n+1}=a_n\cdot q$. Gdy znamy dwa kolejne wyrazy i poprzedni nie jest zerem, iloraz obliczamy ze wzoru $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$. To podstawowy test rozpoznawania ciągu geometrycznego.

W zadaniach szkolnych często trzeba odróżnić ten ciąg od ciągu arytmetycznego. W arytmetycznym dodajemy stałą liczbę, a w geometrycznym mnożymy przez stały czynnik.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. Oznacza to, że aby znaleźć dowolny wyraz, nie trzeba wypisywać wszystkich poprzednich — wystarczy znać pierwszy wyraz, iloraz i numer szukanego wyrazu.

Przykład sposobu użycia: jeśli $a_1=5$ oraz $q=2$, to $a_4=5\cdot 2^3=40$. Z kolei przy $q=\frac{1}{2}$ kolejne wyrazy maleją: $8, 4, 2, 1, \dots$.

Warto też pamiętać o zależności dla trzech kolejnych wyrazów. Jeśli są to $a$, $b$, $c$, to zachodzi $b^2=ac$. Tę własność stosuje się często wtedy, gdy nie znamy ilorazu, ale mamy wyrazy skrajne i trzeba wyznaczyć środkowy.

Jednym z najważniejszych wzorów jest wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Dla $q\neq 1$ używamy postaci:

$$S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$$

Można też zapisać ten sam wzór równoważnie jako:

$$S_n=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$$

Obie formy są poprawne. Wybór zależy od wygody rachunkowej. Trzeba jednak uważać, by nie mieszać liczników i mianowników z obu wersji, bo wtedy wynik będzie błędny.

Suma $S_n$ oznacza dodanie pierwszych $n$ wyrazów: $S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$. Jeśli więc w zadaniu pytają o sumę czterech pierwszych wyrazów, chodzi dokładnie o $S_4$.

Szczególny przypadek to $q=1$. Wtedy wszystkie wyrazy są równe i wzór z ułamkiem nie działa, bo prowadzi do dzielenia przez zero. Należy wtedy użyć prostego wzoru $S_n=n\cdot a_1$.

\frac{1-q^n}{1-q}$, bo w mianowniku pojawi się zero.

W liceum warto rozumieć nie tylko wzory, ale też zachowanie ciągu. Gdy $a_1>0$ i $q>1$, kolejne wyrazy są coraz większe, więc ciąg jest rosnący. Gdy $0<q<1$, wyrazy dodatnie stają się coraz mniejsze i ciąg jest malejący.

Jeśli $q<0$, znaki wyrazów zwykle zmieniają się naprzemiennie. Taki ciąg najczęściej nie jest monotoniczny. To ważne przy sprawdzaniu, czy otrzymany wynik ma sens.

Przy obliczaniu sumy zwróć uwagę, czy wyrazy są dodatnie, ujemne czy mieszane. Suma dodatnich wyrazów nie może być ujemna. Jeśli tak wychodzi, prawdopodobnie popełniono błąd we wzorze albo w potęgowaniu liczby $q$.

Dobrą praktyką jest szybkie oszacowanie wyniku przed końcowym zapisem. Gdy ciąg zaczyna się od $1,2,4,8$, to suma pięciu wyrazów musi być większa od $16$, bo obejmuje kilka dodatnich składników.

Najczęściej spotykane zadania dotyczą obliczania brakującego elementu spośród: $a_1$, $q$, $a_n$ lub $S_n$. Czasem dane są dwa wyrazy, na przykład $a_2$ i $a_5$, i trzeba zbudować układ zależności oparty na wzorze ogólnym.

Pojawiają się też zadania praktyczne. Jeśli pewna kwota co roku wzrasta o stały procent, to w kolejnych latach jest mnożona przez ten sam czynnik, na przykład przez $1{,}05$ przy wzroście o $5\%$. To prowadzi do modelu ciągu geometrycznego. Podobnie dzieje się przy systematycznym spadku o stały procent, wtedy $0<q<1$.

W rozwiązaniach trzeba uważać na kilka typowych błędów:

• mylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym,
• używanie wzoru na sumę przy $q=1$,
• błędne potęgowanie ilorazu we wzorze $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$,
• wpisanie do wzoru na sumę złego numeru wyrazu,
• nieuwzględnienie, że ujemny iloraz daje naprzemienne znaki.