Ciągi rekurencyjne — początkowe wyrazy

Ciąg to uporządkowany zestaw liczb zapisanych w określonej kolejności, na przykład $a_1, a_2, a_3, \dots$. W liceum spotyka się różne sposoby opisu ciągu, a jednym z najważniejszych jest wzór rekurencyjny. Taki wzór nie podaje od razu zależności $a_n$ od numeru $n$, lecz mówi, jak obliczyć kolejny wyraz z wyrazów wcześniejszych.

Najprostszy przykład to zapis $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+3$. Oznacza on, że znamy pierwszy wyraz i że każdy następny powstaje przez dodanie $3$ do poprzedniego. Rekurencja pokazuje więc sposób przechodzenia od jednego wyrazu do następnego.

W takim opisie bardzo ważne są indeksy, czyli numery wyrazów, oraz zależność między kolejnymi wyrazami. Trzeba dokładnie czytać, czy wzór dotyczy $a_{n+1}$, czy może $a_{n+2}$, bo od tego zależy sposób liczenia ciągu.

Sam wzór rekurencyjny zwykle nie wystarcza do wyznaczenia konkretnych wartości wyrazów. Potrzebny jest jeszcze warunek początkowy, czyli informacja o jednym lub kilku pierwszych wyrazach. Dla wzoru $a_{n+1}=a_n+3$ trzeba znać przynajmniej wartość $a_1$, aby rozpocząć obliczenia.

Jeśli rekurencja korzysta z jednego poprzedniego wyrazu, jak w zapisie $a_{n+1}=2a_n$, zazwyczaj wystarczy jeden wyraz początkowy. Jeśli jednak wzór ma postać $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$, to nowy wyraz zależy od dwóch wcześniejszych, więc trzeba znać dwa pierwsze wyrazy, na przykład $a_1$ i $a_2$.

Brak warunku początkowego sprawia, że znamy jedynie sposób tworzenia ciągu, ale nie umiemy wskazać jego konkretnych liczb.

Przy zadaniach tego typu najważniejsze jest liczenie po kolei. Jeśli mamy $a_1=5$, $a_{n+1}=a_n-2$, to najpierw wyznaczamy $a_2$, potem $a_3$, następnie $a_4$ i tak dalej. Nie należy przeskakiwać kroków, bo każdy nowy wyraz zależy od poprzedniego.

Dla tego przykładu:

• $a_2=5-2=3$
• $a_3=3-2=1$
• $a_4=1-2=-1$

W rekurencjach dwuetapowych postępujemy podobnie, ale korzystamy z dwóch wcześniejszych wartości. Jeśli $a_1=1$, $a_2=4$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$, to:

• $a_3=a_2+a_1=4+1=5$
• $a_4=a_3+a_2=5+4=9$
• $a_5=a_4+a_3=9+5=14$

W zadaniach maturalnych i szkolnych często trzeba po prostu poprawnie wyznaczyć kilka pierwszych wyrazów oraz zauważyć, jaki typ zmian zachodzi między nimi.

W podstawowym zakresie liceum najczęściej spotyka się kilka prostych schematów. Pierwszy to dodawanie lub odejmowanie stałej liczby, na przykład $a_{n+1}=a_n+4$ albo $a_{n+1}=a_n-1$. Taki zapis oznacza, że kolejne wyrazy zmieniają się o stałą wartość.

Drugi typ to mnożenie lub dzielenie przez stałą liczbę, na przykład $a_{n+1}=3a_n$ albo $a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$. Wtedy każdy kolejny wyraz otrzymuje się przez wykonanie tego samego działania na poprzednim.

Trzeci typ to rekurencje, w których nowy wyraz zależy od więcej niż jednego wcześniejszego, na przykład $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. W takich sytuacjach trzeba uważnie pilnować kolejności liczenia.

W prostych przypadkach można też ocenić monotoniczność ciągu. Gdy do każdego wyrazu dodajemy liczbę dodatnią, ciąg zwykle jest rosnący. Gdy odejmujemy dodatnią liczbę, ciąg jest malejący. Gdy wzór ma postać $a_{n+1}=a_n$, ciąg jest stały.

Najczęstszy błąd polega na myleniu indeksu z wartością wyrazu. Zapis $a_4$ oznacza czwarty wyraz ciągu, ale nie znaczy, że jego wartość wynosi $4$. Trzeba ją dopiero obliczyć.

Drugi częsty błąd to nieuważne odczytanie wzoru. Zapis $a_{n+1}=a_n+2$ oznacza dodawanie $2$, natomiast $a_{n+1}=2a_n$ oznacza mnożenie przez $2$. To zupełnie różne rekurencje i prowadzą do innych wyników.

Problemem bywa też pomijanie kolejnych etapów obliczeń. Jeśli chcesz znaleźć $a_5$, zwykle nie wolno zgadywać wyniku — trzeba wyznaczyć po kolei wszystkie potrzebne wyrazy wcześniejsze. Przy rekurencji dwuetapowej nie można policzyć $a_4$, jeśli wcześniej nie obliczono $a_3$.

W praktyce warto zapisywać obliczenia linijka po linijce. Dzięki temu łatwo sprawdzić, czy poprawnie wykorzystano wzór. Taka przejrzystość jest szczególnie ważna na sprawdzianie, bo nawet przy drobnym błędzie nauczyciel może ocenić tok rozumowania.

Jeśli pytanie dotyczy kilku początkowych wyrazów, najlepiej wypisać je w kolejności i dopisać obok użyte działanie. To zmniejsza ryzyko pomyłki i pozwala szybciej zauważyć schemat ciągu.