Proporcjonalność odwrotna

Proporcjonalność odwrotna to zależność między dwiema wielkościami, którą opisuje wzór $y=\frac{a}{x}$, gdzie $a\neq 0$. W praktyce oznacza to, że gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje w taki sposób, aby ich iloczyn był stały.

Z równania $y=\frac{a}{x}$ wynika równoważna zależność:

• $x\cdot y=a$

To właśnie stały iloczyn odróżnia proporcjonalność odwrotną od proporcjonalności prostej. W zadaniach tekstowych często najłatwiej rozpoznać ten typ zależności po tym, że „więcej jednej wielkości oznacza mniej drugiej”, ale nie wystarczy samo intuicyjne stwierdzenie. Trzeba jeszcze sprawdzić, czy iloczyn jest stały.

Funkcja proporcjonalności odwrotnej ma postać $f(x)=\frac{a}{x}$. Parametr $a$ decyduje o położeniu wykresu i o znakach wartości funkcji. Jeśli znamy jeden punkt należący do wykresu, możemy łatwo wyznaczyć parametr:

• $a=x\cdot y$

Przykładowo, jeśli wykres przechodzi przez punkt $(2,5)$, to $a=2\cdot 5=10$, więc wzór funkcji ma postać $f(x)=\frac{10}{x}$. Jeśli punkt ma współrzędne $(-3{,}4)$, wtedy $a=-12$ i funkcja to $f(x)=\frac{-12}{x}$.

Warto pamiętać, że różne funkcje tego typu mają podobny kształt wykresu. Zmienia się jednak ich położenie w układzie współrzędnych oraz „oddalenie” gałęzi od początku układu.

• gdy $a>0$, wykres leży w I i III ćwiartce
• gdy $a<0$, wykres leży w II i IV ćwiartce
• im większe $|a|$, tym dla tych samych argumentów wartości funkcji mają większą wartość bezwzględną

W funkcji $f(x)=\frac{a}{x}$ nie można podstawić $x=0$, ponieważ nie wolno dzielić przez zero. Dlatego dziedziną jest zbiór:

• $\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Funkcja także nigdy nie przyjmuje wartości $0$, bo równanie $\frac{a}{x}=0$ nie ma rozwiązania dla $a\neq 0$. Zatem zbiorem wartości jest:

• $\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Z tego wynikają ważne konsekwencje:

• funkcja nie ma miejsca zerowego
• wykres nie przecina osi $OX$
• wykres nie przecina osi $OY$
• punkt $(0,0)$ nie należy do wykresu

Wykresem tej funkcji jest hiperbola złożona z dwóch oddzielnych gałęzi. Gałęzie zbliżają się do osi układu współrzędnych, ale ich nie przecinają. Dlatego osie pełnią rolę asymptot:

• $x=0$
• $y=0$

Wykres ma również symetrię względem początku układu współrzędnych. Oznacza to, że jeśli punkt $(x,y)$ należy do wykresu, to punkt $(-x,-y)$ także należy do wykresu.

Aby sprawdzić, czy punkt leży na wykresie, można:

• podstawić jego współrzędne do wzoru $y=\frac{a}{x}$
• albo sprawdzić, czy spełnia warunek $x\cdot y=a$

Monotoniczność tej funkcji analizujemy osobno na dwóch przedziałach dziedziny, ponieważ liczba $0$ nie należy do dziedziny i „rozdziela” wykres.

Dla $a>0$ funkcja jest:

• malejąca na $(-\infty,0)$
• malejąca na $(0,\infty)$

Dla $a<0$ funkcja jest:

• rosnąca na $(-\infty,0)$
• rosnąca na $(0,\infty)$

Znak funkcji zależy od znaku parametru $a$ i znaku argumentu $x$. Gdy $a>0$, wartości funkcji są dodatnie dla dodatnich argumentów i ujemne dla ujemnych. Gdy $a<0$, sytuacja jest odwrotna.

W zadaniach maturalnych ważne jest precyzyjne formułowanie odpowiedzi. Nie należy pisać bez zastanowienia, że funkcja jest „malejąca w całej dziedzinie”, lecz wskazać odpowiednie przedziały.

Proporcjonalność odwrotna pojawia się zarówno w zadaniach rachunkowych, jak i w prostych problemach praktycznych. Najczęściej trzeba:

• rozpoznać typ zależności na podstawie opisu
• wyznaczyć wzór funkcji z podanego punktu
• odczytać z wykresu ćwiartki, dziedzinę i zbiór wartości
• sprawdzić, czy dany punkt należy do wykresu
• porównać wartości funkcji dla różnych argumentów

W zastosowaniach praktycznych spotykamy sytuacje typu: liczba pracowników i czas wykonania stałej pracy, prędkość i czas przebycia ustalonej drogi, liczba maszyn i czas wykonania tego samego zadania. Jeśli warunki są stałe, to iloczyn odpowiednich wielkości pozostaje taki sam.

Przykładowy schemat rozwiązania zadania tekstowego:

• zapisz stały iloczyn
• wyznacz parametr $a$
• ułóż równanie w postaci $y=\frac{a}{x}$ lub $x\cdot y=a$
• oblicz szukaną wielkość

Takie zadania zwykle nie są trudne rachunkowo, ale wymagają poprawnego rozpoznania zależności i uważnego odczytywania treści.