÷×

Ciąg dany wzorem ogólnym

Matematyka

Zestaw wyjaśnia, czym jest ciąg określony wzorem ogólnym i jak poprawnie obliczać jego wyrazy. Znajdziesz tu najważniejsze zasady podstawiania numeru wyrazu, interpretacji indeksu oraz typowe pułapki pojawiające się w zadaniach licealnych i maturalnych.

10 fiszek16 pytań · 2 etapynotatkaSzkoła średnia

Pobierz test do druku

1.ciąg liczbowy

Ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych lub jego część, a wartościami są liczby. Kolejne wartości ciągu nazywamy wyrazami ciągu.

2.wzór ogólny ciągu

To wzór opisujący $n$ -ty wyraz ciągu, najczęściej w postaci $a_n = ...$ . Po podstawieniu za $n$ numeru wyrazu otrzymujemy jego wartość.

3. $a_n$

Symbol $a_n$ oznacza $n$ -ty wyraz ciągu. Litera $a$ oznacza nazwę ciągu, a indeks $n$ informuje, który wyraz rozważamy.

4. $a_1$

To pierwszy wyraz ciągu. Aby go obliczyć ze wzoru ogólnego, podstawiamy $n=1$ .

5. $a_k$

To wyraz ciągu o numerze $k$ . Aby go znaleźć, we wzorze ogólnym za $n$ podstawiamy $k$ .

6.indeks wyrazu

Indeks to liczba zapisana przy symbolu wyrazu, np. w $a_7$ . Oznacza numer wyrazu w ciągu, a nie działanie na liczbie $a$ .

7.obliczanie wyrazu ciągu

Polega na podstawieniu odpowiedniej liczby za $n$ we wzorze $a_n$ i wykonaniu działań zgodnie z kolejnością działań.

8.kolejność działań

Przy liczeniu wyrazu ciągu najpierw obliczamy potęgi i nawiasy, potem mnożenie lub dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Błędy rachunkowe często wynikają z pominięcia tej zasady.

9.dziedzina indeksu $n$

W zadaniach szkolnych numer wyrazu $n$ jest zwykle liczbą naturalną dodatnią, czyli $n \in \{1,2,3,\dots\}$ . Nie podstawiamy zwykle liczb ujemnych ani ułamków.

10.pierwsze wyrazy ciągu

To początkowe wartości, np. $a_1, a_2, a_3, a_4$ . Wyznacza się je przez kolejne podstawianie do wzoru ogólnego wartości $n=1,2,3,4,...$ .

Notatka

Czym jest ciąg i wzór ogólny

Ciąg liczbowy to uporządkowany zbiór liczb zapisanych w określonej kolejności. Każda liczba ma swoje miejsce, czyli numer. Ten numer nazywamy indeksem wyrazu. Jeśli ciąg oznaczamy przez $a_n$ , to symbol ten oznacza $n$ -ty wyraz ciągu.

Gdy ciąg jest dany wzorem ogólnym, najczęściej ma postać $a_n = ...$ . Taki wzór pozwala obliczyć dowolny wyraz, jeśli znamy jego numer. Wystarczy w miejsce $n$ podstawić numer wyrazu i wykonać działania.

Na przykład jeśli $a_n = 2n+1$ , to:

$a_1 = 2\cdot 1+1 = 3$
$a_2 = 2\cdot 2+1 = 5$
$a_3 = 2\cdot 3+1 = 7$

Zapamiętaj

W zapisie $a_n$ litera oznacza nazwę ciągu, a indeks oznacza numer wyrazu.

Jak obliczać wyrazy ciągu

Obliczanie wyrazu ciągu polega na poprawnym podstawieniu liczby za $n$ . Jeśli chcesz policzyć $a_5$ , to wszędzie we wzorze zamiast $n$ wpisujesz $5$ . Następnie liczysz wartość wyrażenia.

Przykład: dla wzoru $a_n = 3n-4$ mamy:

$a_1 = 3\cdot 1-4 = -1$
$a_4 = 3\cdot 4-4 = 8$
$a_{10} = 3\cdot 10-4 = 26$

Warto pamiętać, że w zadaniach szkolnych numer wyrazu $n$ jest zwykle liczbą naturalną dodatnią, czyli $1, 2, 3, ...$ . Nie podstawiamy więc przypadkowych liczb rzeczywistych, jeśli zadanie nie mówi inaczej.

Jeżeli polecenie brzmi „wyznacz kilka początkowych wyrazów ciągu”, to najczęściej obliczamy $a_1, a_2, a_3, a_4$ i czasem kolejne.

Kolejność działań i rola nawiasów

Bardzo ważne jest zachowanie kolejności działań. Najpierw obliczamy to, co jest w nawiasach, potem potęgi, następnie mnożenie lub dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. W ciągach wiele błędów bierze się właśnie z nieuważnego liczenia.

Porównaj dwa wzory:

$a_n = n^2+1$
$a_n = (n+1)^2$

Dla $n=2$ dostajemy:

w pierwszym przypadku: $a_2 = 2^2+1 = 5$
w drugim przypadku: $a_2 = (2+1)^2 = 9$

Widać więc, że nawias całkowicie zmienia wynik. Trzeba też uważać na znak minus, na przykład we wzorze $a_n = 4-n^2$ dla $n=3$ mamy $4-9=-5$ .

Ważne

Nie zmieniaj wzoru podczas liczenia: jeśli we wzorze jest $(n+1)^2$ , to nie wolno liczyć jak dla $n^2+1$ .

Typowe przykłady szkolne

W liceum często spotyka się ciągi dane prostymi wzorami liniowymi, kwadratowymi albo ułamkowymi. Umiejętność podstawiania jest potrzebna zarówno w prostych zadaniach rachunkowych, jak i przy dalszej nauce ciągów.

Przykłady:

jeśli $a_n = 5-n$ , to $a_3 = 5-3 = 2$
jeśli $a_n = \frac{n+2}{2}$ , to $a_4 = \frac{4+2}{2} = 3$
jeśli $a_n = (-1)^n$ , to kolejne wyrazy zmieniają znak: $a_1=-1$ , $a_2=1$ , $a_3=-1$

Czasem polecenie dotyczy konkretnego dalszego wyrazu, np. $a_{20}$ . Sposób postępowania jest dokładnie taki sam jak dla $a_1$ lub $a_2$ : podstawiasz właściwy numer wyrazu i liczysz.

Przykład

Dla $a_n = 2n^2-1$ mamy $a_4 = 2\cdot 4^2-1 = 2\cdot 16-1 = 31$ .

Najczęstsze błędy i jak ich unikać

Najczęstszy błąd to mylenie numeru wyrazu z jego wartością. Na przykład zapis $a_3$ nie oznacza jeszcze liczby $3$ , tylko trzeci wyraz ciągu. Dopiero po podstawieniu do wzoru obliczamy jego wartość.

Inny częsty błąd to pomijanie nawiasów lub niewłaściwe liczenie potęg. Jeśli we wzorze występuje $n^2$ , to najpierw podnosisz podstawioną liczbę do kwadratu. Jeśli występuje $(n+1)^2$ , to najpierw dodajesz w nawiasie, a potem podnosisz całość do kwadratu.

Warto też zwracać uwagę, czy zadanie pyta o konkretny wyraz, czy o pierwsze kilka wyrazów. W pierwszym przypadku obliczasz tylko jeden wskazany wyraz, a w drugim wykonujesz kilka kolejnych podstawień.

Dobra strategia to działanie krok po kroku: