Przesunięcia wykresu funkcji

Przesunięcie wykresu to taka zmiana funkcji, w której kształt wykresu pozostaje taki sam, ale cały wykres zmienia położenie na układzie współrzędnych. W liceum najczęściej spotykamy dwa podstawowe typy: przesunięcie poziome, opisane wzorem $y=f(x-a)$, oraz przesunięcie pionowe, opisane wzorem $y=f(x)+b$.

Jeśli zmieniamy argument funkcji, czyli to, co stoi „w miejscu $x$”, wtedy przesuwamy wykres równolegle do osi $Ox$. Jeśli natomiast dodajemy lub odejmujemy liczbę już po obliczeniu wartości funkcji, przesuwamy wykres równolegle do osi $Oy$.

Ważne jest, że przesunięcie nie zmienia ogólnego kształtu wykresu. Parabola pozostaje parabolą, wykres funkcji liniowej pozostaje prostą, a wykres funkcji typu $|x|$ nadal ma ten sam „daszkowy” kształt.

Wzór $y=f(x-a)$ oznacza, że zamiast liczby $x$ podstawiamy do funkcji wyrażenie $x-a$. To powoduje przesunięcie wykresu wzdłuż osi $Ox$.

• Gdy $a>0$, wykres przesuwa się w prawo o $a$ jednostek.
• Gdy $a<0$, wykres przesuwa się w lewo o $|a|$ jednostek.

To właśnie tutaj najłatwiej o pomyłkę. Uczeń często patrzy tylko na znak i błędnie uznaje, że minus oznacza ruch w lewo. Tymczasem w przesunięciu poziomym znak działa odwrotnie, ponieważ zmieniamy argument funkcji.

Przykładowo, jeśli mamy funkcję $y=x^2$, to wykres funkcji $y=(x-2)^2$ jest przesunięty o $2$ jednostki w prawo. Z kolei $y=(x+3)^2$ to przesunięcie o $3$ jednostki w lewo.

Przesuwają się także wszystkie punkty charakterystyczne wykresu: miejsca zerowe, wierzchołek paraboli, punkt przecięcia z osią symetrii czy końce odcinków na wykresie funkcji określonej na przedziale.

Wzór $y=f(x)+b$ oznacza, że do każdej wartości funkcji dodajemy tę samą liczbę. W efekcie cały wykres przesuwa się równolegle do osi $Oy$.

• Gdy $b>0$, wykres przesuwa się w górę o $b$ jednostek.
• Gdy $b<0$, wykres przesuwa się w dół o $|b|$ jednostek.

Ten typ przesunięcia jest zwykle łatwiejszy do odczytania niż przesunięcie poziome. Tutaj znak działa „normalnie”: $+b$ podnosi wykres, a $-b$ go obniża.

Jeśli dla pewnego argumentu wartość funkcji wynosiła na przykład $4$, to po przejściu do funkcji $y=f(x)+3$ będzie wynosiła $7$. Współrzędna $x$ punktu się nie zmienia, zmienia się tylko współrzędna $y$.

Bardzo często spotykamy wzór $y=f(x-a)+b$. Oznacza on jednocześnie dwa przesunięcia: poziome i pionowe. Cały wykres przesuwa się wtedy o wektor $[a,b]$.

• część $x-a$ odpowiada za przesunięcie w poziomie,
• część $+b$ odpowiada za przesunięcie w pionie.

Przykład: wykres funkcji $y=(x-1)^2+4$ otrzymujemy z wykresu $y=x^2$ przez przesunięcie o $1$ w prawo i o $4$ w górę. Wierzchołek paraboli, który był w punkcie $(0,0)$, przechodzi do punktu $(1,4)$.

Można to stosować nie tylko do parabol, ale do każdej funkcji, której wykres znamy. Jeśli potrafisz rozpoznać przesunięcie wykresu podstawowego, łatwiej narysujesz nową funkcję bez obliczania wielu punktów.

Przesunięcia zmieniają położenie wykresu, więc wpływają też na niektóre własności funkcji. Trzeba jednak odróżniać, które elementy zmienia przesunięcie poziome, a które pionowe.

Dziedzina szczególnie reaguje na przesunięcie poziome. Jeśli funkcja jest określona tylko dla wybranych argumentów, to po przejściu do wzoru $f(x-a)$ dziedzina przesuwa się wzdłuż osi $Ox$. Przykładowo, jeśli dziedziną jest przedział $[-1,5]$, to dla funkcji $f(x-3)$ dziedziną będzie $[2,8]$.

Zbiór wartości zmienia się przede wszystkim przy przesunięciu pionowym. Jeśli funkcja przyjmowała wartości z przedziału $[0,7]$, to funkcja $f(x)-2$ przyjmuje wartości z przedziału $[-2,5]$.

Miejsca zerowe po przesunięciu poziomym przesuwają się razem z wykresem. Jeśli $x_0$ było miejscem zerowym funkcji $f$, to dla funkcji $f(x-a)$ miejscem zerowym jest liczba $x_0+a$. Natomiast przy przesunięciu pionowym nie wystarczy „przesunąć” miejsca zerowego; trzeba rozwiązać równanie $f(x)+b=0$.

Na sprawdzianach i maturze często pojawiają się trzy rodzaje poleceń: odczytanie przesunięcia z podanego wzoru, zapisanie wzoru po przesunięciu znanej funkcji oraz wyznaczenie punktów charakterystycznych nowego wykresu.

Najczęstsze błędy to:

• odczytywanie wzoru $f(x-a)$ tak, jakby minus oznaczał ruch w lewo,
• mylenie przesunięcia poziomego z pionowym,
• zmiana tylko wzoru, bez przesunięcia punktów charakterystycznych,
• błędne wyznaczanie miejsc zerowych po przesunięciu pionowym.

Dobra metoda to zaczynać od pytania: czy zmienia się argument, czy wartość funkcji? Jeśli zmienia się argument, patrzymy na oś $Ox$. Jeśli zmienia się wartość funkcji, patrzymy na oś $Oy$.

W zadaniach z parabolą warto od razu śledzić położenie wierzchołka. W zadaniach z funkcją liniową łatwo sprawdzić, jak przesuwa się punkt przecięcia z osią $Oy$. W zadaniach z wykresem odcinkowym lub tabelą dobrze jest przesunąć kilka punktów i połączyć je tak samo jak wcześniej.