Funkcja wykładnicza w liceum

Funkcja wykładnicza to funkcja postaci $f(x)=a^x$, gdzie podstawa spełnia warunki $a>0$ oraz $a\neq 1$. Najważniejszą cechą jest to, że zmienna $x$ znajduje się w wykładniku, a nie w podstawie potęgi. Dzięki temu funkcja wykładnicza opisuje zjawiska, w których wielkość zmienia się nie o stałą wartość, lecz przez stały mnożnik.

W praktyce szkolnej często spotyka się też postać $f(x)=b\cdot a^x$, gdzie $b$ oznacza wartość początkową. Taki wzór pojawia się w zadaniach o kapitale, liczbie bakterii, rozpadzie substancji czy zmianach liczby ludności.

Warunki na podstawę są bardzo ważne. Gdyby było $a=1$, otrzymalibyśmy funkcję stałą $f(x)=1$, a nie wykładniczą. Gdyby podstawa była niedodatnia, pojawiłyby się problemy z określeniem wartości dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Dla funkcji $f(x)=a^x$ dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych, czyli $D_f=\mathbb{R}$. Można więc podstawiać liczby całkowite, ułamki i liczby ujemne. To odróżnia funkcję wykładniczą od niektórych innych funkcji, które mają ograniczoną dziedzinę.

Zbiór wartości jest równy $(0,\infty)$, ponieważ potęga dodatniej liczby jest zawsze dodatnia. Z tego powodu wykres funkcji wykładniczej leży zawsze nad osią $OX$ i nie ma miejsc zerowych.

Każdy wykres funkcji wykładniczej przechodzi przez punkt $(0,1)$, bo $a^0=1$. To punkt, który bardzo pomaga przy szkicowaniu wykresu. Dodatkowo prosta $y=0$ jest asymptotą poziomą: wykres może się do niej zbliżać, ale jej nie przecina.

To, czy funkcja wykładnicza rośnie czy maleje, zależy wyłącznie od wartości podstawy $a$.

• Jeżeli $a>1$, to funkcja $f(x)=a^x$ jest rosnąca.
• Jeżeli $0<a<1$, to funkcja $f(x)=a^x$ jest malejąca.

Przykładowo wykres $y=2^x$ rośnie, bo podstawa $2$ jest większa od $1$. Natomiast wykres $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ maleje, bo podstawa należy do przedziału $(0,1)$.

Warto umieć porównać przebieg wykresów. Funkcje o podstawie większej od $1$ „idą w górę” w prawo, a te o podstawie między $0$ a $1$ „opadają” w prawo. Wszystkie jednak przechodzą przez punkt $(0,1)$ i mają dodatnie wartości.

Przy szkicowaniu dobrze zaznaczyć kilka punktów, np. dla $y=2^x$: $(0,1)$, $(1,2)$, $(-1,\frac{1}{2})$. To wystarcza, by poprawnie narysować kształt wykresu.

W liceum trzeba rozpoznawać podstawowe przesunięcia wykresu funkcji wykładniczej.

Jeśli mamy wzór $y=a^x+b$, to wykres funkcji $y=a^x$ został przesunięty o $b$ jednostek w pionie:

• w górę, gdy $b>0$,
• w dół, gdy $b<0$.

Wtedy zmienia się też asymptota pozioma z $y=0$ na $y=b$.

Jeśli mamy wzór $y=a^{x-p}$, to wykres przesuwa się o $p$ jednostek w prawo. Gdy zapis ma postać $y=a^{x+p}$, przesunięcie jest o $p$ jednostek w lewo. To jedna z najczęstszych pułapek, bo kierunek poziomy działa odwrotnie niż może się wydawać.

Funkcja wykładnicza świetnie opisuje zjawiska, w których wielkość zmienia się w każdym kroku o ten sam procent. To ważniejsze niż zmiana o tę samą liczbę.

Jeżeli wartość rośnie o $p\%$ w każdym okresie, stosujemy model:

$$y=b\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^x$$

Tutaj $b$ oznacza wartość początkową, a liczba $1+\frac{p}{100}$ jest współczynnikiem wzrostu.

Jeżeli wartość maleje o $p\%$ w każdym okresie, model ma postać:

$$y=b\cdot \left(1-\frac{p}{100}\right)^x$$

Wtedy współczynnik zmiany należy do przedziału $(0,1)$, więc funkcja jest malejąca.

Typowe przykłady:

• wzrost liczby bakterii,
• wzrost kapitału na lokacie,
• spadek wartości przedmiotu,
• zmniejszanie się ilości substancji.

W zadaniach trzeba uważać, czy zmiana dotyczy każdego okresu o stały procent, czy o stałą liczbę. Tylko w pierwszym przypadku powstaje model wykładniczy.

Jednym z najczęstszych zastosowań jest procent składany. Jeśli kapitał początkowy wynosi $K_0$, a oprocentowanie w jednym okresie to $p\%$, to po $n$ okresach mamy:

$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$

To wzór wykładniczy, bo w każdym kolejnym okresie kapitał jest mnożony przez ten sam współczynnik. Nie dodajemy co roku tej samej kwoty, tylko naliczamy procent od aktualnego stanu konta.

W zadaniach maturalnych często trzeba:

• rozpoznać, że dana sytuacja opisuje wzrost wykładniczy lub spadek wykładniczy,
• wyznaczyć odpowiedni współczynnik, np. dla wzrostu o $6\%$ jest to $1{,}06$, a dla spadku o $6\%$ jest to $0{,}94$,
• obliczyć wartość funkcji dla podanego argumentu,
• odczytać z wykresu, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca,
• wskazać punkt przecięcia z osią $OY$ i asymptotę.

Dobrą strategią jest najpierw ustalenie wartości początkowej i współczynnika zmiany, a dopiero potem zapisanie pełnego wzoru funkcji.