Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa ma postać $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq 0$. Jej wykresem jest parabola, a najważniejszym punktem przy badaniu ekstremów jest wierzchołek. To właśnie on decyduje, czy funkcja ma minimum albo maksimum na całej dziedzinie.

Jeżeli $a>0$, parabola jest skierowana ramionami w górę, więc funkcja ma wartość najmniejszą. Jeżeli $a<0$, parabola jest skierowana ramionami w dół, więc funkcja ma wartość największą.

W zadaniach szkolnych trzeba odróżniać dwie sytuacje:

• badanie funkcji na całej dziedzinie,
• badanie funkcji tylko w danym przedziale domkniętym.

W drugim przypadku samo znalezienie wierzchołka nie zawsze wystarczy — trzeba jeszcze sprawdzić końce przedziału.

Najwygodniej bada się funkcję kwadratową w postaci kanonicznej:

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Wtedy wierzchołek ma współrzędne $W=(p,q)$. Liczba $q$ jest wartością funkcji w wierzchołku, czyli kandydatem na minimum albo maksimum.

Jeśli funkcja jest podana w postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$, to współrzędną $x$ wierzchołka obliczamy ze wzoru:

$$p=-\frac{b}{2a}$$

Następnie liczymy:

$$q=f(p)$$

Oś symetrii paraboli ma równanie $x=p$. To ważne, bo po jednej stronie osi funkcja zmienia się w jednym kierunku, a po drugiej w przeciwnym.

Na całym zbiorze liczb rzeczywistych sytuacja jest prosta.

Dla $a>0$ funkcja ma minimum w wierzchołku, bo wyrażenie $(x-p)^2$ jest zawsze nieujemne. Zatem najmniejsza wartość funkcji to $q$.

Dla $a<0$ funkcja ma maksimum w wierzchołku, ponieważ liczba $a(x-p)^2$ jest wtedy niedodatnia. Największa wartość funkcji znów wynosi $q$.

Trzeba uważać: jeśli badamy funkcję na całej dziedzinie, to parabola skierowana w górę nie ma wartości największej, a parabola skierowana w dół nie ma wartości najmniejszej.

W przedziale $[m,n]$ funkcja kwadratowa zawsze przyjmuje zarówno wartość najmniejszą, jak i największą. Aby je znaleźć, stosujemy stały schemat.

• Oblicz współrzędną $x$ wierzchołka: $p=-\frac{b}{2a}$.
• Sprawdź, czy $p\in [m,n]$.
• Oblicz wartości na końcach przedziału: $f(m)$ i $f(n)$.
• Jeżeli wierzchołek należy do przedziału, oblicz także $f(p)$.
• Porównaj otrzymane wartości.

Jeśli wierzchołek leży poza przedziałem, to wystarczy porównać wartości na końcach przedziału. Jeśli leży w środku, może dawać minimum albo maksimum, ale i tak końce trzeba sprawdzić.

To bardzo częsty typ zadania maturalnego: pytanie nie brzmi tylko „gdzie jest wierzchołek?”, lecz „jaka jest najmniejsza lub największa wartość w danym przedziale?”

Funkcja kwadratowa zmienia sposób zachowania w wierzchołku.

• Gdy $a>0$, funkcja maleje do wierzchołka i potem rośnie.
• Gdy $a<0$, funkcja rośnie do wierzchołka i potem maleje.

Dzięki temu można szybciej przewidzieć, gdzie szukać ekstremów. Jeśli cały przedział leży po jednej stronie wierzchołka, to funkcja w tym przedziale jest monotoniczna, więc minimum i maksimum będą na końcach przedziału.

Na przykład dla funkcji z wierzchołkiem przy $x=2$ i przedziału $[3,5]$ wierzchołek nie należy do przedziału. Wtedy wystarczy porównać $f(3)$ oraz $f(5)$.

W zadaniach o ekstremach najczęściej pojawiają się kilka typowych błędów.

• Uczeń oblicza tylko wierzchołek i nie sprawdza końców przedziału.
• Uczeń podaje sam argument, np. $x=2$, zamiast wartości funkcji, np. $f(2)=5$.
• Uczeń myli przedział domknięty z otwartym i automatycznie zakłada, że końce można pominąć.
• Uczeń źle liczy wzór $-\frac{b}{2a}$, zwłaszcza przy ujemnym $a$.

W odpowiedzi warto zapisać pełny wniosek, na przykład:

• „Najmniejsza wartość funkcji w przedziale $[0,3]$ wynosi $2$ i jest osiągana dla $x=1$.”
• „Największa wartość funkcji w przedziale $[0,3]$ wynosi $6$ i jest osiągana dla $x=3$.”

Taki zapis pokazuje zarówno wartość funkcji, jak i punkt, w którym ją osiąga, co jest szczególnie cenione w zadaniach otwartych.