Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa ma postać $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq 0$. Jej wykresem jest parabola, więc zadania tego typu polegają na odczytaniu z wykresu takich informacji, które pozwolą obliczyć brakujące współczynniki. Najczęściej są to: wierzchołek, miejsca zerowe, punkt przecięcia z osią $OY$ albo współrzędne innego punktu należącego do wykresu.

W praktyce nie chodzi tylko o samo liczenie, ale o dobór najwygodniejszej postaci wzoru. Ta sama funkcja może być zapisana na różne sposoby, a od danych z wykresu zależy, który zapis da się uzupełnić najszybciej.

W liceum używa się trzech podstawowych postaci funkcji kwadratowej.

• Postać ogólna: $f(x)=ax^2+bx+c$. Jest dobra wtedy, gdy znamy kilka punktów wykresu albo odczytujemy łatwo wartość $f(0)=c$.
• Postać kanoniczna: $f(x)=a(x-p)^2+q$. Od razu pokazuje wierzchołek paraboli: $W=(p,q)$.
• Postać iloczynowa: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Od razu pokazuje miejsca zerowe: $x_1$ i $x_2$.

Każda z tych postaci opisuje tę samą funkcję, ale w inny sposób uwidacznia jej własności. Dlatego w zadaniach maturalnych bardzo ważne jest rozpoznanie, która postać najlepiej pasuje do danych. Jeśli z wykresu widać dwa przecięcia z osią $OX$, zwykle najłatwiej zacząć od postaci iloczynowej. Jeśli widać dokładnie wierzchołek, naturalnym wyborem jest postać kanoniczna.

Jeżeli z wykresu odczytujesz wierzchołek paraboli, to najwygodniej zapisać wzór w postaci kanonicznej: $f(x)=a(x-p)^2+q$. Wtedy liczby $p$ i $q$ są już znane, a do wyznaczenia zostaje tylko współczynnik $a$. Wystarczy podstawić współrzędne jednego punktu leżącego na wykresie.

Oś symetrii paraboli ma równanie $x=p$, czyli przechodzi przez wierzchołek. Jeśli na wykresie widać dwa punkty położone symetrycznie względem tej osi, mają one tę samą wartość funkcji. To pomaga sprawdzić poprawność obliczeń i czasem pozwala szybciej ustalić położenie wierzchołka.

Współczynnik $a$ mówi, czy ramiona paraboli są skierowane w górę czy w dół. Gdy $a>0$, funkcja ma minimum, a gdy $a<0$, ma maksimum. Im większa wartość $|a|$, tym parabola jest węższa.

Jeżeli z wykresu widać miejsca zerowe, czyli punkty przecięcia z osią $OX$, to zwykle wybieramy postać iloczynową: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Liczby $x_1$ i $x_2$ odczytujemy z wykresu, a następnie wyznaczamy $a$ z dodatkowego punktu, najczęściej z przecięcia z osią $OY$.

Punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $(0,c)$, więc w postaci ogólnej łatwo odczytać $c=f(0)$. W postaci iloczynowej również można użyć tego punktu: podstawiamy $x=0$ i otrzymaną wartość przyrównujemy do odczytanego z wykresu $y$.

Trzeba uważać na znak w nawiasach. Jeśli miejscem zerowym jest liczba $3$, to w zapisie występuje czynnik $(x-3)$, a nie $(x+3)$. Jeśli miejscem zerowym jest $-2$, wtedy czynnik ma postać $(x+2)$.

Zdarza się, że zadanie nie podaje wprost wierzchołka ani miejsc zerowych, ale daje trzy informacje, na przykład trzy punkty wykresu albo dwa punkty i wartość funkcji dla jeszcze jednego argumentu. Wtedy wygodna bywa postać ogólna: $f(x)=ax^2+bx+c$.

Podstawiamy kolejno dane do wzoru i otrzymujemy układ równań z niewiadomymi $a$, $b$ i $c$. Po rozwiązaniu układu dostajemy pełny wzór funkcji. To metoda bardziej rachunkowa, ale bardzo uniwersalna.

Jeżeli jeden z podanych punktów ma współrzędną $x=0$, to od razu znamy $c$, co upraszcza obliczenia. Warto też sprawdzić, czy w danych nie ukrywa się symetria wykresu — czasem pozwala ona przejść do postaci kanonicznej i skrócić rachunki.

Najlepsza strategia jest prosta i powtarzalna.

• Odczytaj z wykresu najważniejsze dane: wierzchołek, miejsca zerowe, przecięcie z osią $OY$, kierunek ramion.
• Wybierz najwygodniejszą postać wzoru: kanoniczną, iloczynową albo ogólną.
• Podstaw dodatkowy punkt należący do wykresu i wyznacz brakujący współczynnik lub współczynniki.
• Na końcu sprawdź wynik: czy zgadza się wierzchołek, miejsca zerowe i kierunek ramion.

Częstym błędem jest złe odczytanie znaku z wykresu albo pomylenie nawiasów w postaci iloczynowej. Uczniowie często też zaczynają od postaci ogólnej, choć zadanie dałoby się rozwiązać szybciej w postaci kanonicznej lub iloczynowej.