Funkcja kwadratowa: postać kanoniczna i wierzchołek

Funkcja kwadratowa to funkcja dana wzorem $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq 0$. Jej wykresem jest parabola. To jeden z najważniejszych typów funkcji w liceum, bo łączy algebraiczne przekształcenia wzoru z analizą wykresu.

W praktyce korzysta się z kilku postaci wzoru funkcji kwadratowej. W temacie wierzchołka szczególnie ważna jest postać kanoniczna, ponieważ pozwala bardzo szybko odczytać najważniejsze informacje o wykresie: położenie wierzchołka, równanie osi symetrii oraz to, czy funkcja ma minimum czy maksimum.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma wzór $f(x)=a(x-p)^2+q$, gdzie $a\neq 0$. Jest ona bardzo wygodna, bo od razu pokazuje współrzędne wierzchołka paraboli. Wierzchołek ma postać $W=(p,q)$.

Z tej samej postaci natychmiast odczytujemy też oś symetrii paraboli. Jest to prosta o równaniu $x=p$. Oznacza to, że parabola jest lustrzanie symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek.

Trzeba uważać na znak w nawiasie. Jeśli mamy $(x-3)^2$, to $p=3$, a jeśli $(x+3)^2$, to zapisujemy to jako $(x-(-3))^2$, więc $p=-3$.

Współczynnik $a$ w postaci kanonicznej nie zmienia położenia wierzchołka, ale decyduje o kształcie i ustawieniu paraboli. Gdy $a>0$, ramiona paraboli są skierowane w górę, więc wierzchołek wyznacza najmniejszą wartość funkcji. Gdy $a<0$, ramiona są skierowane w dół, więc wierzchołek daje największą wartość funkcji.

Współczynnik $a$ wpływa też na to, czy parabola jest „węższa” czy „szersza” w porównaniu z wykresem $y=x^2$. Dla większych co do wartości bezwzględnej współczynników parabola jest bardziej „ściśnięta”, a dla mniejszych dodatnich od $1$ lub ujemnych o małej wartości bezwzględnej - bardziej „rozszerzona”. Na poziomie licealnym najważniejsze jest jednak poprawne rozpoznanie kierunku ramion i rodzaju ekstremum.

Jeśli funkcja ma wzór $f(x)=a(x-p)^2+q$, to wartość $q$ jest wartością minimalną dla $a>0$ albo maksymalną dla $a<0$.

Często funkcja jest podana w postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$ i trzeba znaleźć jej wierzchołek. Wtedy przekształcamy wzór do postaci kanonicznej metodą uzupełniania do kwadratu.

Przykład schematu:

• wyłącz współczynnik przy $x^2$, jeśli jest różny od $1$
• z wyrażeń z $x$ utwórz kwadrat dwumianu
• uporządkuj stałe

Dla funkcji $f(x)=x^2-4x+1$ mamy:

• $x^2-4x+1=(x^2-4x+4)-3$
• czyli $(x-2)^2-3$

Stąd od razu odczytujemy, że wierzchołek to $(2,-3)$, a oś symetrii ma równanie $x=2$.

Wierzchołek dzieli wykres paraboli na dwie części. Po jednej stronie funkcja jest malejąca, a po drugiej rosnąca. To ważne przy odczytywaniu własności wykresu i rozwiązywaniu zadań maturalnych.

Dla $a>0$ funkcja:

• maleje dla argumentów mniejszych od współrzędnej $x$ wierzchołka
• rośnie dla argumentów większych od współrzędnej $x$ wierzchołka

Dla $a<0$ jest odwrotnie:

• rośnie przed wierzchołkiem
• maleje za wierzchołkiem

Jeśli wierzchołek ma współrzędne $(p,q)$, to punkt zmiany monotoniczności występuje przy $x=p$. Dlatego współrzędna $x$ wierzchołka jest szczególnie ważna.

W zadaniach szkolnych najczęściej trzeba:

• rozpoznać postać kanoniczną funkcji kwadratowej
• odczytać wierzchołek i oś symetrii
• określić, czy funkcja ma minimum czy maksimum
• przekształcić postać ogólną do postaci kanonicznej
• opisać przesunięcie wykresu względem paraboli $y=x^2$

Jeśli masz wzór $(x-p)^2+q$, to wykres paraboli $y=x^2$ został przesunięty poziomo o $|p|$: w prawo, gdy $p>0$, albo w lewo, gdy $p<0$. Na przykład $(x-3)^2$ oznacza przesunięcie o $3$ w prawo, a $(x+3)^2=(x-(-3))^2$ przesunięcie o $3$ w lewo. Dodanie liczby $q$ przesuwa wykres w pionie: w górę dla dodatniego $q$, w dół dla ujemnego.

Warto ćwiczyć odczytywanie informacji bez zbędnych rachunków. Gdy wzór jest już w postaci kanonicznej, większość danych o wykresie widać od razu.