Wykres funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa ma postać $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq 0$. Jej wykresem jest parabola, czyli krzywa o charakterystycznym kształcie. W zależności od znaku współczynnika $a$ ramiona paraboli są skierowane w górę albo w dół.

Jeżeli $a>0$, parabola jest „otwarta” do góry, więc jej wierzchołek wyznacza najmniejszą wartość funkcji. Jeżeli $a<0$, ramiona są skierowane w dół i wtedy wierzchołek odpowiada największej wartości funkcji.

Na wykresie funkcji kwadratowej bardzo ważna jest też symetria. Parabola ma zawsze pionową prostą, względem której jej lewa i prawa część są swoim lustrzanym odbiciem.

Najważniejszym punktem paraboli jest wierzchołek. To punkt, w którym funkcja osiąga minimum albo maksimum. Wierzchołek zawsze leży na osi symetrii.

Dla postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$ oś symetrii ma równanie:

$$x=-\frac{b}{2a}$$

Aby znaleźć współrzędne wierzchołka, najpierw obliczamy pierwszą współrzędną z tego wzoru, a potem podstawiamy ją do funkcji i wyznaczamy drugą współrzędną.

Jeżeli oznaczymy pierwszą współrzędną wierzchołka przez $p$, a drugą przez $q$, to wierzchołek ma postać $W=(p,q)$. W praktyce warto pamiętać, że oś symetrii przechodzi dokładnie przez środek paraboli i dzieli ją na dwie równe części.

W szkole średniej funkcję kwadratową zapisuje się najczęściej w trzech postaciach: ogólnej, kanonicznej i iloczynowej.

Postać ogólna to $ax^2+bx+c$. Z niej łatwo odczytać punkt przecięcia z osią $OY$, bo dla $x=0$ mamy $f(0)=c$, więc punkt ten ma współrzędne $(0,c)$.

Postać kanoniczna ma wzór $f(x)=a(x-p)^2+q$. Jest szczególnie wygodna, bo od razu widać wierzchołek $W=(p,q)$ oraz oś symetrii $x=p$. To najpraktyczniejsza postać przy szkicowaniu wykresu.

Postać iloczynowa to $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Dzięki niej można łatwo odczytać miejsca zerowe: są nimi liczby $x_1$ i $x_2$. Oś symetrii przechodzi wtedy w połowie między nimi, czyli ma równanie $x=\frac{x_1+x_2}{2}$.

Najsilniej na kształt paraboli wpływa współczynnik $a$. Gdy $a>0$, ramiona idą w górę, a gdy $a<0$, w dół. Dodatkowo wartość $|a|$ wpływa na „szerokość” wykresu: im większe $|a|$, tym parabola jest węższa; im mniejsze dodatnie $|a|$, tym jest szersza.

Współczynnik $c$ w postaci ogólnej odpowiada za punkt przecięcia z osią $OY$. Dzięki temu już na początku szkicowania można zaznaczyć punkt $(0,c)$.

Współczynnik $b$ współdecyduje o położeniu osi symetrii i wierzchołka, ponieważ występuje we wzorze $x=-\frac{b}{2a}$. Nie należy jednak interpretować go samodzielnie tak prosto jak współczynnika $a$.

Przy analizie wykresu trzeba patrzeć na funkcję całościowo: na znak $a$, położenie wierzchołka, oś symetrii oraz możliwe miejsca zerowe.

Miejsca zerowe to takie liczby $x$, dla których $f(x)=0$. Na wykresie są to punkty przecięcia paraboli z osią $OX$. Funkcja kwadratowa może mieć dwa, jedno albo zero miejsc zerowych.

Jeżeli miejsc zerowych są dwa, to leżą one symetrycznie względem osi paraboli. Oznacza to, że oś symetrii przechodzi dokładnie przez środek odcinka łączącego te punkty. Stąd bierze się wzór $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ dla postaci iloczynowej.

Jeżeli parabola ma jedno miejsce zerowe, to wierzchołek leży na osi $OX$. Jeżeli nie ma miejsc zerowych, cały wykres znajduje się nad osią $OX$ albo pod nią, zależnie od położenia wierzchołka i kierunku ramion.

To ważne przy odczytywaniu informacji z rysunku: liczba punktów wspólnych z osią $OX$ mówi, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe $f(x)=0$.

Aby naszkicować wykres funkcji kwadratowej, najpierw ustal postać funkcji i odczytaj z niej jak najwięcej informacji. Najwygodniej pracuje się z postacią kanoniczną, ale z każdej postaci można wyciągnąć dane potrzebne do rysunku.

• sprawdź znak $a$, aby wiedzieć, czy ramiona idą w górę czy w dół
• wyznacz oś symetrii
• znajdź wierzchołek
• zaznacz punkt przecięcia z osią $OY$, jeśli łatwo go obliczyć
• jeśli to możliwe, wyznacz miejsca zerowe
• dorysuj drugą stronę wykresu symetrycznie względem osi

W zadaniach maturalnych często trzeba nie tylko narysować parabolę, ale też odczytać z wykresu: zbiór wartości, przedziały monotoniczności, minimum lub maksimum oraz punkty przecięcia z osiami. Dlatego samo obliczenie wzoru nie wystarcza — trzeba rozumieć, jak wygląda cały wykres.