Największa i najmniejsza wartość funkcji

Gdy badamy największą wartość funkcji i najmniejszą wartość funkcji w przedziale domkniętym $[a,b]$, pytamy o to, jakie największe i najmniejsze liczby przyjmuje funkcja dla argumentów z tego przedziału. Nie chodzi więc o największy lub najmniejszy argument, ale o wartości wyrażeń $f(x)$.

Bardzo ważne jest odróżnianie dwóch rzeczy: wartości funkcji oraz miejsca, w którym ta wartość występuje. Można więc zapytać osobno: „ile wynosi maksimum?” oraz „dla jakiego $x$ funkcja to maksimum osiąga?”.

W przedziale domkniętym końce należą do zbioru rozważanych argumentów, więc zawsze trzeba uwzględnić punkty $a$ i $b$.

Jeśli funkcja jest dana wykresem, patrzymy tylko na ten fragment wykresu, który leży nad danym przedziałem. Szukamy punktu najwyższego i najniższego na tym fragmencie. Odczytujemy wtedy odpowiednie wartości na osi $Oy$.

Trzeba uważać, czy końce przedziału są uwzględnione oraz czy punkt na wykresie jest zaznaczony jako należący do wykresu. W praktyce interesuje nas najwyżej położony i najniżej położony punkt wykresu dla argumentów z danego zakresu.

Jeżeli wykres pokazuje, że funkcja rośnie na całym rozważanym przedziale, to najmniejsza wartość jest przy lewym końcu, a największa przy prawym. Jeżeli maleje, sytuacja jest odwrotna.

Dla funkcji liniowej postaci $f(x)=ax+b$ najłatwiej wykorzystać monotoniczność. Wszystko zależy od znaku współczynnika $a$.

• Jeśli $a>0$, funkcja jest rosnąca.
• Jeśli $a<0$, funkcja jest malejąca.
• Jeśli $a=0$, funkcja jest stała.

To oznacza, że w funkcji liniowej nie trzeba szukać żadnych dodatkowych punktów wewnątrz przedziału. Wystarczy sprawdzić wartości na końcach przedziału, a często nawet bez obliczeń wiadomo, gdzie jest minimum i maksimum.

Dla funkcji stałej największa i najmniejsza wartość są równe, bo funkcja przyjmuje wszędzie tę samą liczbę. To częsty prosty przypadek, o którym uczniowie czasem zapominają.

W przypadku funkcji kwadratowej najważniejszy jest wierzchołek paraboli. Szczególnie wygodna jest postać kanoniczna:

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Z tego zapisu od razu widać, że wierzchołek ma współrzędne $\left(p,q\right)$.

Znaczenie współczynnika $a$:

• Gdy $a>0$, parabola ma ramiona skierowane do góry, więc wierzchołek daje najmniejszą wartość funkcji.
• Gdy $a<0$, parabola ma ramiona skierowane w dół, więc wierzchołek daje największą wartość funkcji.

Jednak w zadaniach z przedziałem domkniętym sam wierzchołek nie zawsze wystarcza. Trzeba jeszcze sprawdzić, czy jego argument należy do badanego przedziału. Jeśli nie należy, wtedy porównujemy tylko wartości na końcach przedziału.

Najbezpieczniejszy sposób działania w typowym zadaniu jest prosty.

• Zapisz, jaki jest badany przedział: $[a,b]$.
• Oblicz $f(a)$ i $f(b)$.
• Jeśli funkcja jest kwadratowa, wyznacz wierzchołek i sprawdź, czy jego argument należy do przedziału.
• Jeśli tak, oblicz także wartość funkcji w wierzchołku.
• Porównaj otrzymane liczby.

Najmniejsza z porównywanych liczb to minimum funkcji w tym przedziale, a największa to maksimum. Taka metoda działa bardzo dobrze w zadaniach maturalnych, bo porządkuje obliczenia i zmniejsza ryzyko pomyłki.

Najczęstszy błąd polega na pomyleniu argumentu z wartością funkcji. Jeśli wierzchołek ma współrzędne $\left(3,-2\right)$, to funkcja osiąga ekstremum dla $x=3$, a wartość ekstremalna wynosi $-2$.

Drugi częsty błąd to pominięcie końców przedziału. Nawet jeśli wierzchołek leży w środku, końce nadal trzeba sprawdzić, bo mogą dawać większą lub mniejszą wartość od tej w wierzchołku, zależnie od tego, czy szukamy maksimum czy minimum.

Trzeci błąd pojawia się wtedy, gdy wierzchołek leży poza przedziałem. W takiej sytuacji nie bierze udziału w porównaniu, bo pytanie dotyczy tylko argumentów z danego zakresu.

Na maturze zwracaj uwagę na sformułowania: „wyznacz największą wartość”, „podaj, dla jakiego argumentu”, „odczytaj z wykresu”, „w przedziale domkniętym”. To one podpowiadają, jakiej odpowiedzi oczekuje zadanie.