Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma wzór $f(x)=ax+b$. Jej wykresem jest prosta, a liczby $a$ i $b$ mają konkretne znaczenie geometryczne i algebraiczne. W liceum bardzo ważna jest umiejętność nie tylko odczytywania tych współczynników z gotowego wzoru, ale też samodzielnego wyznaczania wzoru funkcji z podanych warunków.

Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy. Informuje on o nachyleniu wykresu:

• gdy $a>0$, funkcja jest rosnąca,
• gdy $a<0$, funkcja jest malejąca,
• gdy $a=0$, funkcja jest stała.

Liczba $b$ to wyraz wolny. Oznacza punkt przecięcia wykresu z osią $OY$, czyli punkt $(0,b)$. Dzięki temu, jeśli z wykresu widać, gdzie prosta przecina oś pionową, można od razu odczytać wartość $b$.

Najczęściej wyznaczanie wzoru funkcji liniowej polega na ustaleniu obu współczynników: $a$ i $b$. Jeśli znamy jeden z nich, trzeba obliczyć drugi. Jeśli nie znamy żadnego, korzystamy z warunków podanych w zadaniu.

Jeżeli wykres przechodzi przez punkt $(x_0,y_0)$, to współrzędne tego punktu spełniają równanie:

$$y_0=ax_0+b$$

To podstawowa zasada. Po wstawieniu danych otrzymujemy równanie z niewiadomymi $a$ i/lub $b$.

Jeśli znamy współczynnik kierunkowy i jeden punkt, postępujemy tak:

• zapisujemy wzór w postaci $y=ax+b$,
• wstawiamy znane $a$,
• podstawiamy współrzędne punktu,
• obliczamy $b$.

Jeśli znamy wyraz wolny i jeden punkt, podstawiamy dane do równania i wyliczamy $a$. To bardzo częsty typ zadania maturalnego.

Gdy prosta przechodzi przez dwa różne punkty, najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy ze wzoru:

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Warunkiem jest to, aby $x_1\neq x_2$, bo tylko wtedy mamy prostą, którą można opisać funkcją liniową w postaci $y=ax+b$.

Po obliczeniu $a$ podstawiamy jeden z punktów do równania $y=ax+b$ i obliczamy $b$. Otrzymany wzór warto na końcu sprawdzić na drugim punkcie.

Typowy błąd polega na złym podstawieniu współrzędnych albo zamianie miejscami przyrostu argumentów i wartości. Trzeba pilnować, by w liczniku były różnice wartości $y$, a w mianowniku różnice argumentów $x$.

Dla funkcji liniowej bardzo ważne są punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych. Punkt przecięcia z osią $OY$ ma postać $(0,b)$. Punkt przecięcia z osią $OX$ ma postać $(x_0,0)$, gdzie $x_0$ jest miejscem zerowym funkcji.

Miejsce zerowe wyznaczamy z równania:

$$ax+b=0$$

Jeśli $a\neq 0$, to:

$$x=-\frac{b}{a}$$

W zadaniach często podane jest miejsce zerowe i jeszcze jedna informacja, na przykład wartość współczynnika kierunkowego albo punkt należący do wykresu. Wtedy można szybko zapisać warunek $f(x_0)=0$ i z niego obliczyć brakujący współczynnik.

W liceum wzór funkcji liniowej wyznacza się nie tylko z czysto algebraicznych danych, ale także z wykresu, z opisu słownego lub z warunku geometrycznego. Trzeba umieć przechodzić między różnymi formami informacji.

Najczęstsze sytuacje to:

• dany jest wykres — odczytujemy dwa punkty albo punkt przecięcia z osią $OY$ i nachylenie,
• dane są dwa punkty — liczymy $a$, potem $b$,
• dany jest punkt i współczynnik kierunkowy — podstawiamy do $y=ax+b$,
• dane są miejsce zerowe i wyraz wolny — rozwiązujemy równanie $0=ax+b$,
• prosta jest równoległa do innej — ma ten sam współczynnik kierunkowy.

W zadaniach tekstowych funkcja liniowa opisuje często koszt, drogę, temperaturę albo zależność między dwiema wielkościami. Wtedy $a$ oznacza tempo zmian, a $b$ wartość początkową. To pomaga zrozumieć sens wzoru, a nie tylko go obliczyć.

Dobrą praktyką jest końcowa kontrola: sprawdź, czy obliczony wzór rzeczywiście spełnia wszystkie warunki z zadania. Taka weryfikacja pozwala wyłapać większość prostych błędów rachunkowych.