÷×

Funkcja liniowa i znaczenie współczynników

Matematyka

Zestaw porządkuje najważniejsze informacje o funkcji liniowej w liceum: jej wzór, wykres oraz interpretację współczynników $a$ i $b$ . Nauczysz się rozpoznawać monotoniczność, miejsce zerowe, odczytywać własności z wykresu i rozwiązywać typowe zadania maturalne.

10 fiszek20 pytań · 2 etapynotatkaSzkoła średnia

Pobierz test do druku

1.funkcja liniowa

Funkcja opisana wzorem $f(x)=ax+b$ , gdzie $a,b\in \mathbb{R}$ . Jej wykresem jest prosta. Współczynnik $a$ decyduje o nachyleniu prostej, a $b$ o punkcie przecięcia z osią $OY$ .

2.współczynnik kierunkowy $a$

Liczba stojąca przy $x$ we wzorze $f(x)=ax+b$ . Określa kierunek i stromość wykresu: gdy $a>0$ , funkcja rośnie; gdy $a<0$ , maleje; gdy $a=0$ , jest stała.

3.wyraz wolny $b$

Liczba we wzorze $f(x)=ax+b$ , która określa punkt przecięcia wykresu z osią $OY$ . Dla $x=0$ mamy $f(0)=b$ , więc punkt przecięcia ma współrzędne $(0,b)$ .

4.miejsce zerowe funkcji liniowej

To taka wartość $x$ , dla której $f(x)=0$ . Dla funkcji liniowej $ax+b=0$ , więc przy $a\neq 0$ miejsce zerowe wynosi $x=-\frac{b}{a}$ . Jest to punkt przecięcia wykresu z osią $OX$ .

5.funkcja rosnąca

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy wraz ze wzrostem $x$ rosną też wartości $f(x)$ . Dla wzoru $f(x)=ax+b$ dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy $a>0$ .

6.funkcja malejąca

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy wraz ze wzrostem $x$ wartości $f(x)$ maleją. Dla wzoru $f(x)=ax+b$ zachodzi to wtedy i tylko wtedy, gdy $a<0$ .

7.funkcja stała

Szczególny przypadek funkcji liniowej, gdy $a=0$ . Wzór ma postać $f(x)=b$ , a wykres jest prostą poziomą równoległą do osi $OX$ .

8.wykres funkcji liniowej

Jest to prosta na płaszczyźnie układu współrzędnych. Do jej narysowania wystarczą dwa punkty, na przykład punkt przecięcia z osią $OY$ oraz miejsce zerowe albo dowolny drugi punkt obliczony ze wzoru.

9.postać kierunkowa prostej

Równanie prostej zapisane jako $y=ax+b$ . W matematyce szkolnej jest to jednocześnie wzór funkcji liniowej, jeśli każdemu $x$ odpowiada dokładnie jedna wartość $y$ .

10.punkt przecięcia z osią $OY$

To punkt, w którym wykres przecina oś pionową. Dla funkcji $f(x)=ax+b$ ma współrzędne $(0,b)$ , ponieważ dla $x=0$ wartość funkcji jest równa $b$ .

Notatka

Czym jest funkcja liniowa

Funkcja liniowa to jedna z najważniejszych funkcji poznawanych w liceum. Ma wzór $f(x)=ax+b$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Jej wykresem jest prosta, dlatego wiele własności można szybko odczytać zarówno ze wzoru, jak i z rysunku.

W funkcji liniowej każdej wartości argumentu $x$ odpowiada dokładnie jedna wartość $f(x)$ . Dziedziną takiej funkcji jest zwykle zbiór liczb rzeczywistych, jeśli w zadaniu nie podano dodatkowych ograniczeń.

W praktyce szkolnej trzeba umieć:

rozpoznać funkcję liniową po wzorze,
wskazać znaczenie współczynników $a$ i $b$ ,
narysować wykres,
odczytać z wykresu podstawowe własności,
wyznaczyć wzór funkcji na podstawie danych.

Zapamiętaj

Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$ , a jej wykres jest zawsze prostą.

Interpretacja współczynnika kierunkowego $a$

Współczynnik $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym. To on decyduje o tym, czy prosta „idzie w górę”, czy „opada”, gdy patrzymy od lewej do prawej strony wykresu.

Jeżeli $a>0$ , funkcja jest rosnąca. Gdy zwiększamy argument $x$ , wartości funkcji też rosną. Jeżeli $a<0$ , funkcja jest malejąca. Wtedy wraz ze wzrostem $x$ wartości funkcji maleją. Gdy $a=0$ , funkcja jest stała i ma postać $f(x)=b$ .

Im większa jest wartość bezwzględna współczynnika $a$ , tym bardziej stroma jest prosta. Na przykład wykres funkcji $f(x)=5x+1$ jest bardziej stromy niż wykres funkcji $f(x)=x+1$ , bo $|5|>|1|$ .

Typowe odczytywanie z wykresu polega więc najpierw na ustaleniu znaku $a$ , bo to od razu mówi o monotoniczności funkcji.

Ważne

Nie myl znaku $a$ ze znakiem $b$ . O tym, czy funkcja rośnie lub maleje, decyduje tylko $a$ .

Interpretacja wyrazu wolnego $b$

Liczba $b$ to wyraz wolny. Oznacza ona wartość funkcji dla argumentu $x=0$ , ponieważ po podstawieniu otrzymujemy $f(0)=b$ . Dzięki temu od razu wiadomo, że wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,b)$ .

Jeśli $b>0$ , punkt przecięcia z osią $OY$ leży nad początkiem układu współrzędnych. Jeśli $b<0$ , leży pod nim. Gdy $b=0$ , wykres przechodzi przez punkt $(0,0)$ , czyli przez początek układu.

Zmiana wartości $b$ przy tym samym $a$ powoduje pionowe przesunięcie prostej: w górę albo w dół. Nachylenie się wtedy nie zmienia, bo zależy od współczynnika $a$ .

W zadaniach bardzo często najpierw sprawdza się właśnie wartość $b$ , bo to najszybszy sposób ustalenia, gdzie wykres przecina oś pionową.

Miejsce zerowe i przecięcia z osiami

W funkcji liniowej ważne są dwa charakterystyczne punkty: przecięcie z osią $OY$ oraz przecięcie z osią $OX$ . Punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $(0,b)$ .

Aby znaleźć miejsce zerowe, trzeba rozwiązać równanie $f(x)=0$ , czyli:

$ax+b=0$

Dla $a\neq 0$ otrzymujemy:

$x=-\frac{b}{a}$

To właśnie współrzędna punktu przecięcia z osią $OX$ . Sam punkt ma więc postać $\left(-\frac{b}{a},0\right)$ .

Jeżeli $a=0$ , sytuacja zależy od $b$ . Dla $f(x)=0$ każde $x$ jest miejscem zerowym, a dla $f(x)=b$ , gdzie $b\neq 0$ , funkcja nie ma miejsca zerowego.

Przykład

Dla funkcji $f(x)=2x-6$ miejsce zerowe spełnia równanie $2x-6=0$ , więc $x=3$ . Wykres przecina oś $OX$ w punkcie $(3,0)$ .

Jak rysować i odczytywać wykres

Do narysowania wykresu funkcji liniowej wystarczą dwa punkty, ponieważ przez dwa różne punkty można poprowadzić dokładnie jedną prostą. Najwygodniej znaleźć:

punkt przecięcia z osią $OY$ , czyli $(0,b)$ ,
miejsce zerowe albo inny punkt obliczony ze wzoru.

Przykładowo dla funkcji $f(x)=-x+2$ łatwo wyznaczyć punkt $(0,2)$ . Miejsce zerowe spełnia równanie $-x+2=0$ , więc $x=2$ . Drugi punkt to $(2,0)$ . Po zaznaczeniu tych punktów rysujemy prostą.

Z wykresu funkcji liniowej można odczytać:

dziedzinę,
zbiór wartości,
miejsce zerowe,
monotoniczność,
punkt przecięcia z osią $OY$ .

W zadaniach maturalnych często trzeba przejść w obie strony: ze wzoru do wykresu i z wykresu do wzoru. Dlatego warto ćwiczyć oba sposoby.

Typowe zależności i zadania maturalne

W zadaniach szkolnych często porównuje się kilka funkcji liniowych i trzeba ocenić, która jest bardziej stroma, która rośnie, a która przecina oś $OY$ wyżej. Kluczem jest zawsze poprawna interpretacja współczynników $a$ i $b$ .

Jeżeli dwie funkcje mają to samo $a$ , to ich wykresy są równoległe. Jeżeli mają to samo $b$ , przecinają oś $OY$ w tym samym punkcie. Zmiana tylko $a$ zmienia nachylenie, a zmiana tylko $b$ przesuwa wykres w pionie.

Typowe polecenia brzmią:

podaj, czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała,
odczytaj współczynniki ze wzoru lub z wykresu,
wyznacz miejsce zerowe,
narysuj wykres funkcji,
wskaż wzór funkcji przechodzącej przez dany punkt na osi $OY$ .

Najczęstszy błąd polega na zamienieniu ról współczynników: uczeń uznaje, że $b$ odpowiada za monotoniczność, a $a$ za punkt przecięcia z osią $OY$ . Jest odwrotnie: $a$ steruje nachyleniem, a $b$ położeniem na osi pionowej.