Miejsca zerowe i monotoniczność funkcji

W analizie funkcji bardzo często bada się dwa elementy: miejsca zerowe oraz przedziały monotoniczności. Miejsce zerowe to taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$, czyli spełnione jest równanie $f(x)=0$. Na wykresie odpowiada to punktowi przecięcia z osią $OX$.

Monotoniczność opisuje, jak zachowuje się funkcja, gdy rośnie argument. Funkcja może być rosnąca, malejąca albo stała na danym przedziale. Jeśli wraz ze wzrostem $x$ wartości funkcji rosną, mówimy o funkcji rosnącej. Jeśli maleją, funkcja jest malejąca. Gdy się nie zmieniają, funkcja jest stała.

Te własności można odczytywać zarówno z wykresu, jak i wyznaczać ze wzoru funkcji. W zadaniach szkolnych najczęściej dotyczy to funkcji liniowej i kwadratowej.

Zanim zacznie się szukać miejsc zerowych lub badać monotoniczność, trzeba sprawdzić dziedzinę funkcji. Tylko dla argumentów należących do dziedziny funkcja ma sens, więc tylko tam można opisywać jej własności.

Z wykresu miejsca zerowe odczytujemy jako wartości $x$, dla których wykres przecina oś $OX$. Trzeba uważać: nie chodzi o cały punkt przecięcia, lecz o jego pierwszą współrzędną. Jeżeli wykres nie przecina osi $OX$, to funkcja nie ma miejsc zerowych.

Przedziały monotoniczności odczytujemy, patrząc na wykres od lewej do prawej.

• jeśli wykres idzie w górę, funkcja jest rosnąca,
• jeśli wykres opada, funkcja jest malejąca,
• jeśli biegnie poziomo, funkcja jest stała.

Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$. Jej wykres jest prostą, a najważniejszą rolę odgrywa współczynnik kierunkowy $a$. To właśnie on decyduje o monotoniczności.

• Gdy $a>0$, funkcja jest rosnąca na całej dziedzinie.
• Gdy $a<0$, funkcja jest malejąca na całej dziedzinie.
• Gdy $a=0$, funkcja jest stała.

Miejsce zerowe funkcji liniowej wyznaczamy z równania $ax+b=0$. Jeśli $a\neq 0$, to otrzymujemy wzór

$$x=-\frac{b}{a}$$

Warto pamiętać, że wyraz wolny $b$ nie decyduje o tym, czy funkcja rośnie czy maleje. Wpływa tylko na położenie wykresu względem osi $OY$.

Funkcja kwadratowa ma postać $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq 0$. Jej wykresem jest parabola. Aby znaleźć miejsca zerowe, rozwiązujemy równanie

$$ax^2+bx+c=0$$

Liczba rozwiązań tego równania jest równa liczbie punktów przecięcia paraboli z osią $OX$.

W badaniu monotoniczności najważniejszy jest wierzchołek paraboli oraz kierunek jej ramion.

• jeśli ramiona są skierowane w górę, funkcja najpierw maleje, a potem rośnie,
• jeśli ramiona są skierowane w dół, funkcja najpierw rośnie, a potem maleje.

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa

$$x_w=-\frac{b}{2a}$$

Ta liczba rozdziela przedziały monotoniczności. Jest też równaniem osi symetrii paraboli.

Jeżeli funkcja kwadratowa ma wierzchołek o pierwszej współrzędnej $x_w$, to zapis zależy od znaku współczynnika $a$.

Dla $a>0$:

• funkcja jest malejąca na przedziale $(-\infty,x_w)$,
• funkcja jest rosnąca na przedziale $(x_w,\infty)$.

Dla $a<0$:

• funkcja jest rosnąca na przedziale $(-\infty,x_w)$,
• funkcja jest malejąca na przedziale $(x_w,\infty)$.

W praktyce trzeba umieć połączyć informację o wierzchołku z wyglądem wykresu. Sama znajomość miejsc zerowych nie wystarcza do pełnego opisu monotoniczności.

W zadaniach często pojawiają się proste błędy. Uczeń myli miejsce zerowe z punktem przecięcia z osią $OX$, zamiast podać liczbę $x$. Innym częstym błędem jest ocenianie monotoniczności bez spojrzenia na dziedzinę lub bez rozdzielenia jej na odpowiednie przedziały.

W zadaniach maturalnych trzeba zwykle:

• odczytać z wykresu miejsca zerowe i przedziały monotoniczności,
• obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej,
• na podstawie wzoru funkcji liniowej określić, czy rośnie czy maleje,
• dla funkcji kwadratowej wskazać przedziały monotoniczności z wykresu albo z położenia wierzchołka,
• połączyć kilka informacji naraz, na przykład miejsca zerowe, wierzchołek i zbiór wartości.

Dobrą strategią jest zawsze ten sam porządek: najpierw dziedzina, potem miejsca zerowe, następnie kształt wykresu i na końcu przedziały monotoniczności. Taki schemat porządkuje rozwiązanie i zmniejsza ryzyko pomyłki.