Pojęcie funkcji w liceum

Pojęcie funkcji należy do najważniejszych w matematyce. Funkcja opisuje zależność między dwiema wielkościami: każdemu dopuszczalnemu argumentowi przyporządkowuje dokładnie jedną wartość funkcji. Najczęściej zapisujemy to jako $f(x)$, gdzie $x$ oznacza argument, a $f(x)$ wynik.

Nie każda zależność jest funkcją. Jeżeli jednemu argumentowi odpowiadają dwie różne wartości, to taka relacja nie spełnia definicji funkcji. Może się natomiast zdarzyć odwrotna sytuacja: różnym argumentom odpowiada ta sama wartość — i to nadal jest funkcja.

W praktyce szkolnej bardzo ważne jest rozróżnienie między argumentem, wartością funkcji i samą regułą przyporządkowania. Dla zapisu $f(2)=5$ liczba $2$ jest argumentem, a liczba $5$ wartością funkcji.

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Gdy funkcja jest dana wzorem, trzeba sprawdzić, czy nie pojawiają się ograniczenia. W liceum najczęściej wyklucza się wartości powodujące dzielenie przez $0$. Na przykład dla $f(x)=\frac{1}{x}$ liczba $0$ nie należy do dziedziny.

Zbiór wartości to wszystkie liczby, jakie funkcja rzeczywiście przyjmuje dla argumentów z dziedziny. Nie należy go mylić z dziedziną: dziedzina odpowiada na pytanie „dla jakich $x$?”, a zbiór wartości — „jakie wyniki otrzymujemy?”.

Jeśli funkcja jest opisana tabelą lub wykresem, dziedzinę i zbiór wartości często odczytuje się bezpośrednio. W tabeli dziedzina to zbiór wpisanych argumentów, a zbiór wartości to zbiór odpowiadających im wyników. Na wykresie dziedzina wiąże się z „rozciągnięciem” wykresu w poziomie, a zbiór wartości — w pionie.

Dziedzina i zbiór wartości mogą być skończone, mogą być przedziałami albo bardziej złożonymi zbiorami liczb.

Tę samą funkcję można przedstawić na różne sposoby. W programie liceum najważniejsze są cztery formy: opis słowny, tabela, wykres i wzór.

Opis słowny podaje regułę w języku naturalnym, na przykład: „każdej liczbie przyporządkowujemy jej kwadrat”. Tabela jest wygodna wtedy, gdy badamy funkcję tylko dla wybranych argumentów. Wykres pokazuje zależność geometrycznie i pozwala szybko odczytywać wiele własności. Wzór daje możliwość rachunkowego obliczania wartości funkcji i analizowania zależności algebraicznej.

Ważne jest, że różne opisy mogą przedstawiać tę samą zależność. Można na przykład najpierw podać wzór, potem obliczyć z niego wartości dla kilku argumentów i zapisać je w tabeli, a następnie zaznaczyć odpowiednie punkty na wykresie.

Czasem funkcja jest określona różnymi wzorami na różnych częściach dziedziny. Nie przeszkadza to, by była jedną funkcją — warunek jest tylko taki, aby każdy argument miał przypisaną jedną wartość.

Jeżeli funkcja jest dana wzorem, obliczanie wartości polega na podstawieniu argumentu w miejsce zmiennej. Dla funkcji $f(x)=3x-2$ wartość dla argumentu $4$ obliczamy tak: $f(4)=3\cdot 4-2=10$. Trzeba zwracać uwagę na poprawne podstawienie liczb ujemnych i na kolejność działań.

W zapisie $f(x)$ nawias nie oznacza mnożenia. Jest to część oznaczenia funkcji. Dlatego $f(2)$ czytamy jako „wartość funkcji dla argumentu $2$”, a nie jako iloczyn $f$ i $2$.

Przy funkcjach opisanych tabelą lub wykresem nie wykonujemy podstawienia do wzoru, tylko odczytujemy wynik. Jeśli w tabeli przy $x=1$ wpisano $3$, to znaczy, że $f(1)=3$. Jeśli na wykresie punkt o odciętej $1$ ma rzędną $3$, wniosek jest taki sam.

Wykres funkcji składa się z punktów o współrzędnych $(x,f(x))$. Oznacza to, że pierwsza współrzędna punktu to argument, a druga to wartość funkcji. Bardzo częstym błędem jest ich zamiana.

Aby sprawdzić, czy narysowana zależność jest wykresem funkcji, stosuje się tzw. test pionowej prostej. Jeżeli jakaś pionowa prosta przecina wykres w więcej niż jednym punkcie, to dla jednego argumentu istniałyby różne wartości, więc nie byłaby to funkcja.

Z wykresu można odczytać nie tylko konkretne wartości, ale też dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe czy przedziały, na których funkcja rośnie albo maleje. W tym temacie najważniejsze jest jednak poprawne rozumienie, że punkt wykresu $(a,b)$ oznacza zależność $f(a)=b$.

W przypadku funkcji narysowanej tylko na pewnym fragmencie układu współrzędnych trzeba uważać, by nie dopisywać do dziedziny argumentów, dla których na wykresie nie ma punktów.

W zadaniach szkolnych i maturalnych często pojawiają się proste pytania sprawdzające rozumienie pojęć. Trzeba umieć rozpoznać, co jest dziedziną, co jest zbiorem wartości, a co jest pojedynczą wartością funkcji dla danego argumentu.

Typowe błędy to:

• mylenie argumentu z wartością funkcji,
• utożsamianie dziedziny z całym zbiorem liczb rzeczywistych bez sprawdzenia ograniczeń,
• odczytywanie z wykresu punktu $(a,b)$ jako $f(b)=a$,
• uznawanie za funkcję zależności, w której jednemu argumentowi odpowiada kilka wartości,
• traktowanie zapisu $f(x)$ jak zwykłego mnożenia.

Na maturze warto zawsze zacząć od ustalenia, w jaki sposób funkcja została opisana. Inaczej analizuje się wzór, inaczej tabelę, a inaczej wykres. Następnie należy jasno wskazać: jakie są dopuszczalne argumenty, jakie wyniki otrzymujemy i jak obliczyć lub odczytać konkretną wartość.

Dobre opanowanie tych podstaw jest konieczne przed nauką funkcji liniowej, funkcji kwadratowej, proporcjonalności odwrotnej oraz funkcji wykładniczej i logarytmicznej.