Równania wielomianowe w postaci iloczynowej

Równanie wielomianowe ma postać $W(x)=0$, gdzie $W(x)$ jest wielomianem. W tym temacie najważniejsza jest sytuacja, gdy wielomian został zapisany w postaci iloczynowej, czyli jako iloczyn prostszych czynników, na przykład $(x-2)(x+3)=0$ albo $(x+1)^2(2x-5)=0$.

Taki zapis jest bardzo wygodny, bo nie trzeba rozwijać nawiasów ani przekształcać równania do postaci ogólnej. Zamiast tego korzysta się z własności iloczynu. Szukamy takich liczb, dla których cały iloczyn jest równy zeru. Odczytanie rozwiązań jest wtedy zwykle szybkie i przejrzyste.

W praktyce szkolnej trzeba rozpoznawać czynniki, poprawnie przyrównywać je do zera i na końcu zapisać zbiór rozwiązań. W zadaniach maturalnych bardzo często pojawiają się właśnie równania, które są już zapisane jako iloczyn albo można je do takiej postaci łatwo sprowadzić.

Podstawą rozwiązywania takich równań jest zasada iloczynu równego zeru. Mówi ona, że jeżeli iloczyn kilku wyrażeń jest równy zero, to co najmniej jeden z tych czynników musi być równy zero.

Jeśli więc mamy równanie $(x-4)(x+1)=0$, to rozpatrujemy dwa przypadki:

• $x-4=0$
• $x+1=0$

Po rozwiązaniu tych prostych równań dostajemy odpowiednio $x=4$ oraz $x=-1$. To właśnie te liczby tworzą zbiór rozwiązań.

Warto pamiętać, że zasada działa tylko dla iloczynu równego zero. Jeżeli prawa strona równania nie jest zerem, najpierw trzeba doprowadzić równanie do postaci, w której po jednej stronie jest iloczyn, a po drugiej $0$.

Najczęstszy schemat jest prosty. Najpierw sprawdzamy, czy równanie rzeczywiście ma postać iloczynową. Jeśli tak, to każdy czynnik zawierający zmienną przyrównujemy osobno do zera. Następnie rozwiązujemy otrzymane równania liniowe lub inne proste równania i zapisujemy wszystkie otrzymane wartości.

Przykład dla równania $(2x-6)(x+5)=0$:

• $2x-6=0$, więc $x=3$
• $x+5=0$, więc $x=-5$

Ostatecznie zbiorem rozwiązań jest $\{-5,3\}$.

Jeżeli przed iloczynem stoi liczba różna od zera, na przykład w równaniu $7(x-1)(x+2)=0$, to taki współczynnik nie zmienia rozwiązań. Można go pominąć, bo liczba $7$ sama nie może być równa zeru.

W postaci iloczynowej może wystąpić ten sam czynnik kilka razy, na przykład $(x-2)^2(x+1)=0$. Wtedy mówimy o krotności pierwiastka. Liczba $2$ jest tu pierwiastkiem dwukrotnym, bo czynnik $(x-2)$ występuje z potęgą drugą.

Trzeba jednak odróżnić krotność od liczby różnych rozwiązań. W zbiorze rozwiązań zapisujemy różne liczby tylko raz. Dla równania $(x-2)^2(x+1)=0$ zbiorem rozwiązań jest więc $\{-1,2\}$, a nie zapis z powtórzeniami.

Krotność jest ważna przy opisie równania i interpretacji wykresu funkcji wielomianowej, ale przy samym zapisie zbioru rozwiązań najważniejsze są konkretne wartości liczby $x$. W zadaniach szkolnych często trzeba umieć zarówno wskazać rozwiązania, jak i nazwać, który pierwiastek jest pojedynczy, a który wielokrotny.

Najczęstszy błąd polega na nieuważnym dzieleniu obu stron równania przez wyrażenie zawierające $x$. Na przykład w równaniu $(x-3)(x+2)=0$ nie wolno od razu dzielić przez $(x-3)$ bez zastanowienia, ponieważ można stracić rozwiązanie $x=3$.

Trzeba też uważać na znaki. Z równania $x+5=0$ wynika $x=-5$, a z równania $x-5=0$ wynika $x=5$. To bardzo częsta pomyłka przy szybkim liczeniu.

Inna pułapka pojawia się wtedy, gdy jeden z czynników nie daje rozwiązań rzeczywistych. Przykładowo w równaniu $(x-1)(x^2+1)=0$ tylko czynnik $x-1$ prowadzi do rozwiązania rzeczywistego, bo równanie $x^2+1=0$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Warto zawsze wykonać krótką kontrolę: sprawdzić, czy każdy czynnik został przyrównany do zera oraz czy końcowy zbiór rozwiązań zawiera wszystkie poprawne wartości i żadnej nie powtarza.

Na maturze zadania z tego tematu sprawdzają przede wszystkim sprawność rachunkową i poprawność rozumowania. Możesz spotkać równanie już zapisane jako iloczyn, równanie z czynnikiem powtórzonym albo zadanie, w którym trzeba odczytać rozwiązania i określić ich krotność.

Czasem polecenie wymaga tylko podania rozwiązań, a czasem także uzasadnienia, dlaczego zastosowano zasadę iloczynu równego zeru. Bywa również, że należy najpierw uprościć równanie, na przykład pominąć stały współczynnik różny od zera, a dopiero potem przejść do rozwiązywania.

Dobrą strategią jest trzymanie się schematu:

• doprowadź równanie do postaci „iloczyn $=0$”
• przyrównaj każdy czynnik do zera
• rozwiąż otrzymane równania
• zapisz końcowy zbiór rozwiązań

Jeżeli ten schemat wykonasz dokładnie, większość zadań z równań wielomianowych w postaci iloczynowej da się rozwiązać szybko i bezpiecznie.