Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Trójmian kwadratowy to wyrażenie postaci $ax^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$. Jedną z najważniejszych postaci jego zapisu jest postać iloczynowa: $a(x-x_1)(x-x_2)$. Taki zapis jest bardzo wygodny, ponieważ od razu pokazuje miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Jeżeli funkcja ma postać $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, to dla $x=x_1$ otrzymujemy $f(x)=0$, bo pierwszy nawias się zeruje. Podobnie dla $x=x_2$ zeruje się drugi nawias. Dlatego liczby $x_1$ i $x_2$ to miejsca zerowe funkcji.

Postać iloczynowa jest szczególnie przydatna przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, badaniu znaku funkcji oraz analizie wykresu paraboli.

Aby zapisać trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej nad liczbami rzeczywistymi, trzeba najczęściej wyznaczyć jego miejsca zerowe. Pomaga w tym wyróżnik równania kwadratowego, czyli $\Delta=b^2-4ac$.

Gdy $\Delta>0$, funkcja ma dwa różne miejsca zerowe i wtedy zapisujemy ją w postaci $a(x-x_1)(x-x_2)$. Gdy $\Delta=0$, funkcja ma jedno podwójne miejsce zerowe i postać iloczynowa wygląda tak: $a(x-x_0)^2$. Jeśli natomiast $\Delta<0$, funkcja nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, więc nie da się jej zapisać w postaci iloczynowej nad liczbami rzeczywistymi.

Najczęściej zaczynamy od postaci ogólnej $ax^2+bx+c$. Najpierw obliczamy $\Delta$, a potem korzystamy ze wzorów na miejsca zerowe:

• $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
• $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Następnie podstawiamy je do wzoru $a(x-x_1)(x-x_2)$. Współczynnik $a$ pozostaje taki sam jak w postaci ogólnej.

Czasem postać iloczynową można otrzymać szybciej, bez liczenia delty. Dzieje się tak wtedy, gdy da się zastosować wzory skróconego mnożenia albo wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Na przykład:

• $x^2-9=(x-3)(x+3)$
• $2x^2-8x=2x(x-4)$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Z postaci iloczynowej można odczytać punkty przecięcia z osią $OX$, czyli właśnie miejsca zerowe. Jeśli są dwa różne, wykres przecina oś w dwóch punktach. Jeśli miejsce zerowe jest podwójne, parabola tylko dotyka osi $OX$.

Bardzo ważny jest też współczynnik $a$. Gdy $a>0$, ramiona paraboli są skierowane w górę. Gdy $a<0$, ramiona są skierowane w dół. Współczynnik ten nie zmienia położenia miejsc zerowych, ale wpływa na kształt i kierunek wykresu.

Jeśli znamy dwa miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$, to oś symetrii paraboli ma równanie $x=\frac{x_1+x_2}{2}$. Jest to środek między miejscami zerowymi.

Jeżeli równanie ma postać $a(x-x_1)(x-x_2)=0$, to korzystamy z zasady: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest równy zero. Stąd rozwiązaniami są $x=x_1$ lub $x=x_2$.

Postać iloczynowa jest też bardzo wygodna przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych. Analizujemy wtedy znak każdego czynnika i współczynnika $a$. Dla dwóch różnych miejsc zerowych funkcja zmienia znak przy przejściu przez każde z nich.

Przykładowo dla $(x-2)(x-5)>0$ rozwiązaniem jest $x<2$ lub $x>5$, bo dla $x<2$ i dla $x>5$ oba nawiasy mają ten sam znak. Natomiast między liczbami $2$ i $5$ ich znaki są przeciwne, więc iloczyn jest ujemny.

Typowe zadania maturalne polegają właśnie na odczytywaniu miejsc zerowych, rozwiązywaniu równań typu $(x-1)(x+4)=0$ oraz wyznaczaniu przedziałów, w których funkcja jest dodatnia albo ujemna.

Bardzo częsty błąd to zły odczyt miejsca zerowego z nawiasu. Jeśli w zapisie występuje $(x-3)$, to miejscem zerowym jest $3$, a nie $-3$. Jeśli mamy $(x+3)$, to miejscem zerowym jest $-3$.

Uczniowie czasem też zapominają, że współczynnik $a$ nie wpływa na miejsca zerowe, o ile $a\ne 0$. W funkcjach $2(x-1)(x+4)$ i $-5(x-1)(x+4)$ miejsca zerowe są takie same, ale inny jest kierunek ramion paraboli.

Trzeba też uważać przy przechodzeniu z postaci ogólnej do iloczynowej: po obliczeniu miejsc zerowych należy zachować ten sam współczynnik przy $x^2$. Jeśli w postaci ogólnej mamy $2x^2-6x+4$, to w postaci iloczynowej przed nawiasami również musi pojawić się $2$.