Nierówności liniowe z jedną niewiadomą

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą to taka nierówność, w której po uproszczeniu zmienna występuje tylko w pierwszej potędze. Typowe postacie to $ax+b>0$, $ax+b<0$, $ax+b\ge 0$ oraz $ax+b\le 0$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Gdy $a=0$, niewiadoma znika i nierówność jest sprzeczna albo tożsamościowa. Celem jest wyznaczenie wszystkich liczb rzeczywistych spełniających dany warunek.

Rozwiązaniem nierówności nie musi być jedna liczba. Bardzo często jest to cały przedział liczb, na przykład wszystkie liczby większe od danej wartości albo wszystkie liczby mniejsze lub równe pewnej liczbie. Dlatego ważne jest nie tylko obliczenie wyniku, ale także poprawny zapis zbioru rozwiązań.

Podczas rozwiązywania stosujemy przekształcenia równoważne, czyli takie działania, które nie zmieniają zbioru rozwiązań. Można na przykład dodać tę samą liczbę do obu stron nierówności, odjąć tę samą liczbę od obu stron albo pomnożyć obie strony przez tę samą dodatnią liczbę.

Najważniejsza zasada dotyczy mnożenia lub dzielenia przez liczbę ujemną. Wtedy trzeba zmienić znak nierówności: $>$ zamienia się na $<$, a $\ge$ na $\le$ i odwrotnie. To najczęstsze źródło błędów.

Dobrą praktyką jest najpierw uporządkować wyrażenia: usunąć nawiasy, zredukować wyrazy podobne, a potem przenieść wyrazy z niewiadomą na jedną stronę, a liczby na drugą.

W większości zadań można zastosować prosty schemat.

• Usuń nawiasy i uprość obie strony nierówności.
• Zredukuj wyrazy podobne.
• Przenieś wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą.
• Podziel lub pomnóż tak, aby otrzymać samo $x$.
• Zapisz wynik jako nierówność, a potem jako przedział.

Przykład: dla nierówności $3x-4\ge 2x+1$ odejmujemy $2x$ od obu stron i dostajemy $x-4\ge 1$. Następnie dodajemy $4$ i otrzymujemy $x\ge 5$. Zbiór rozwiązań zapisujemy jako $[5,\infty)$.

Przy nierównościach z minusem przed nawiasem trzeba bardzo uważać. Na przykład $-(x-2)$ po usunięciu nawiasu daje $-x+2$, a nie $-x-2$.

Po rozwiązaniu nierówności trzeba poprawnie zapisać zbiór rozwiązań. Jeśli mamy znak ostry, czyli $<$ lub $>$, punkt graniczny nie należy do zbioru i używamy nawiasu okrągłego. Jeśli mamy $\le$ lub $\ge$, punkt graniczny należy do zbioru i używamy nawiasu kwadratowego.

Przykłady:

• $x<2$ zapisujemy jako $(-\infty,2)$.
• $x\le 2$ zapisujemy jako $(-\infty,2]$.
• $x>−1$ zapisujemy jako $(-1,\infty)$.
• $x\ge −1$ zapisujemy jako $[-1,\infty)$.

Na osi liczbowej odpowiada temu odpowiednio kółko otwarte albo zamalowane w punkcie granicznym oraz zaznaczenie w lewo lub w prawo. Lewo oznacza liczby mniejsze, a prawo - liczby większe.

Czasem po przekształceniach znika niewiadoma. Wtedy trzeba ocenić, czy otrzymane zdanie liczbowe jest prawdziwe, czy fałszywe.

Jeżeli dostajemy zdanie fałszywe, na przykład $0>3$ albo $5\le 1$, nierówność jest sprzeczna i nie ma żadnych rozwiązań. Zapisujemy wtedy $\varnothing$.

Jeżeli dostajemy zdanie prawdziwe, na przykład $0\le 4$ albo $2\ge 2$, nierówność jest tożsamościowa, czyli prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem rozwiązań jest wtedy $\mathbb{R}$.

To ważne szczególnie wtedy, gdy po obu stronach występują podobne wyrażenia z $x$ i po uproszczeniu się redukują.

Najczęstszy błąd to brak zmiany znaku nierówności po podzieleniu przez liczbę ujemną. Drugi typowy problem to błędne usuwanie nawiasów, zwłaszcza gdy przed nawiasem stoi minus. Często pojawia się też niepoprawny zapis przedziału, na przykład użycie nawiasu kwadratowego przy znaku $<$.

W zadaniach maturalnych warto na końcu sprawdzić sens wyniku. Jeśli z nierówności typu $x+5>2$ wyszłoby $x<−3$, to znak może budzić podejrzenie i warto prześledzić rachunki jeszcze raz. Dobrą metodą kontroli jest podstawienie przykładowej liczby z otrzymanego przedziału do nierówności.

Pamiętaj też, że wynik powinien być zapisany czytelnie: jako warunek na $x$, jako przedział i ewentualnie na osi liczbowej. Taki pełny zapis zmniejsza ryzyko utraty punktów za niedokładność.