Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wyrażeń algebraicznych, czyli zapis w rodzaju $\frac{A}{B}$, gdzie mianownik $B$ nie może być równy $0$. W zadaniach licealnych najczęściej upraszczamy takie wyrażenia przez mnożenie, dzielenie, rozkład na czynniki i skracanie.

Bardzo ważne jest rozumienie, że nie każde wyrażenie z literą jest wyrażeniem wymiernym w sensie tego działu. Kluczowa jest postać ułamka algebraicznego. Przykłady to $\frac{x+2}{x-1}$, $\frac{3a}{b^2}$, $\frac{x^2-9}{x+3}$.

Przed rozpoczęciem obliczeń trzeba zawsze ustalić dziedzinę, czyli wszystkie wartości zmiennej, dla których wyrażenie ma sens. Jeśli mianownik przyjmuje wartość $0$, taka liczba jest wykluczona.

Aby znaleźć dziedzinę wyrażenia wymiernego, sprawdzamy, kiedy mianownik jest równy $0$, i te wartości wykluczamy. Dla $\frac{x+1}{x-3}$ mamy warunek $x-3 \neq 0$, więc $x \neq 3$. Dla $\frac{x+1}{x^2-4}$ trzeba rozłożyć mianownik: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, więc $x \neq 2$ oraz $x \neq -2$.

W działaniach z dzieleniem trzeba pamiętać o jeszcze jednym warunku: dzielnik nie może być równy $0$. Jeśli mamy $\frac{x+1}{2} : \frac{x-3}{x+4}$, to wyrażenie $\frac{x-3}{x+4}$ musi być określone i jednocześnie różne od zera. Stąd wynikają dwa zakazy: $x \neq -4$ i $x \neq 3$.

Częsty błąd polega na tym, że uczeń upraszcza wyrażenie i później zapisuje dziedzinę tylko dla końcowej postaci. To błąd, bo uproszczony zapis może nie pokazywać wszystkich wcześniejszych ograniczeń.

Zasada mnożenia jest prosta: mnożymy liczniki między sobą i mnożymy mianowniki między sobą. Potem staramy się wynik uprościć. Schemat ma postać

$$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD},$$

przy założeniu, że $B \neq 0$ i $D \neq 0$.

Najważniejsze narzędzie upraszczania to rozkład na czynniki. Przykładowo w działaniu $\frac{x^2-4}{x+2} \cdot \frac{1}{x-2}$ najpierw zauważamy, że $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Dopiero wtedy można skrócić wspólne czynniki.

W praktyce często używa się wzorów skróconego mnożenia, zwłaszcza:

• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Bez rozłożenia na czynniki wiele wyrażeń wygląda na „nieskracalnych”, choć po przekształceniu okazuje się, że wspólne czynniki istnieją. Dlatego w zadaniach maturalnych warto najpierw patrzeć, czy licznik albo mianownik nie dają się zapisać w postaci iloczynu.

Dzielenie wyrażeń wymiernych sprowadzamy do mnożenia przez wyrażenie odwrotne. Jeśli mamy

$$\frac{A}{B} : \frac{C}{D},$$

to zapisujemy

$$\frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C},$$

przy warunkach $B \neq 0$, $D \neq 0$ i dodatkowo $C \neq 0$, bo nie wolno dzielić przez zero.

Po zamianie dzielenia na mnożenie zwykle rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki, a potem wykonujemy skracanie. Skracać można tylko całe czynniki, czyli elementy połączone mnożeniem. Nie wolno skracać składników sumy lub różnicy.

Na przykład w $\frac{x(x+2)}{x}$ można skrócić czynnik $x$ i otrzymać $x+2$, ale tylko dla $x \neq 0$. Natomiast w $\frac{x+2}{x}$ nie wolno „skrócić $x$”, bo w liczniku nie ma czynnika $x$, tylko suma.

W tym dziale najwięcej błędów bierze się z pośpiechu. Uczniowie często:

• zapominają o dziedzinie
• nie sprawdzają, czy dzielnik nie jest równy $0$
• próbują skracać składniki w sumie, np. w $\frac{x+1}{x+3}$
• rozkładają na czynniki niepoprawnie
• po skróceniu gubią wcześniejsze ograniczenia

Dobra strategia pracy wygląda tak:

• ustal ograniczenia dziedziny z wyjściowego działania
• jeśli występuje dzielenie, zamień je na mnożenie przez odwrotność
• rozłóż liczniki i mianowniki na czynniki
• skróć wspólne czynniki
• zapisz wynik w najprostszej postaci wraz z warunkami

W zadaniach maturalnych często nie wystarczy sam wynik końcowy. Oceniane bywają też poprawne założenia i sensowne przekształcenia. Dlatego warto pisać rozwiązanie etapami, a nie wykonywać wszystko „w pamięci”.

Jeśli po uproszczeniu wychodzi bardzo proste wyrażenie, na przykład $1$ albo $2$, nie oznacza to, że dziedzina staje się wszystkimi liczbami rzeczywistymi. Nadal obowiązują wykluczenia wynikające z postaci początkowej.