Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa dotyczy tylko trójkąta prostokątnego, czyli takiego, który ma kąt prosty o mierze $90^\circ$. Mówi ono, że suma kwadratów długości dwóch boków tworzących ten kąt jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.

Zapisujemy to wzorem: $a^2+b^2=c^2$.

Litery $a$ i $b$ oznaczają przyprostokątne, a litera $c$ oznacza przeciwprostokątną.

Aby dobrze użyć wzoru, trzeba najpierw poprawnie nazwać boki. Przyprostokątne to dwa boki, które spotykają się w kącie prostym. Przeciwprostokątna leży naprzeciw tego kąta i jest najdłuższym bokiem w całym trójkącie.

Jeśli pomylisz przeciwprostokątną z przyprostokątną, wynik będzie błędny. Dlatego przed liczeniem najpierw zaznacz na rysunku kąt $90^\circ$ i sprawdź, który bok leży naprzeciw niego.

Gdy znasz długości obu przyprostokątnych, obliczasz przeciwprostokątną ze wzoru:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Kolejność działań jest ważna:

• podnieś długości przyprostokątnych do kwadratu,
• dodaj otrzymane liczby,
• wyciągnij pierwiastek kwadratowy.

Na przykład, gdy $a=3$ i $b=4$, to:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Oznacza to, że trójkąt o bokach $3$, $4$, $5$ jest trójkątem prostokątnym.

Jeśli znasz przeciwprostokątną i jedną przyprostokątną, możesz obliczyć drugą przyprostokątną. Wtedy przekształcasz wzór do postaci:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

lub

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Najpierw podnosisz znane długości do kwadratu, potem odejmujesz kwadrat przyprostokątnej od kwadratu przeciwprostokątnej, a na końcu wyciągasz pierwiastek.

Przykład:

Jeśli $c=13$ i $b=5$, to:

$$a=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

Pamiętaj, że odejmowanie wykonujemy tylko wtedy, gdy szukamy przyprostokątnej. Gdy szukamy przeciwprostokątnej, zawsze dodajemy kwadraty przyprostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa pojawia się w wielu zadaniach praktycznych. Często trzeba obliczyć długość „na skos”, czyli taką, która tworzy z innymi odcinkami trójkąt prostokątny.

Typowe sytuacje:

• przekątna prostokąta,
• długość drabiny opartej o ścianę,
• wysokość, odległość albo droga zaznaczona ukośnie na rysunku,
• obliczenia na planie lub siatce kwadratowej.

Jeśli widzisz prostokąt, to jego przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Wtedy można użyć wzoru Pitagorasa do obliczenia przekątnej.

W zadaniach tekstowych warto zrobić rysunek pomocniczy. Dzięki temu łatwiej rozpoznać, które odcinki są przyprostokątnymi, a który jest przeciwprostokątną.

Najczęstszy błąd to podstawienie złego boku pod literę $c$. Przeciwprostokątna musi być bokiem naprzeciw kąta prostego i jednocześnie bokiem najdłuższym.

Drugi częsty błąd to zapomnienie o pierwiastku na końcu obliczeń. Jeśli obliczysz $c^2=25$, to długość boku wynosi $c=5$, a nie $25$.

Warto też sprawdzać, czy wynik ma sens. Szukana przyprostokątna nie może być dłuższa od przeciwprostokątnej. Gdy wynik na to wskazuje, trzeba jeszcze raz przejrzeć rachunki.

Dobrze jest znać kilka popularnych zestawów liczb, na przykład $3$, $4$, $5$ oraz $5$, $12$, $13$. Często pojawiają się one w zadaniach i przyspieszają liczenie.