Dzielenie z resztą

Dzielenie z resztą pojawia się wtedy, gdy nie da się podzielić liczby całkowicie na równe części. Po wykonaniu podziału zostaje jeszcze pewna liczba elementów. Tę liczbę nazywamy resztą.

Przykład: gdy dzielimy $17$ przez $5$, to liczba $5$ mieści się w $17$ trzy razy, bo $5\cdot 3=15$. Zostają jeszcze $2$. Zapisujemy to tak: $17:5=3$ reszty $2$.

W takim działaniu ważne są cztery elementy: dzielna, dzielnik, iloraz i reszta. Dzięki nim można dobrze odczytać wynik i sprawdzić, czy działanie jest wykonane poprawnie.

W zapisie $17:5=3$ reszty $2$ liczba $17$ to dzielna, czyli liczba, którą dzielimy. Liczba $5$ to dzielnik, czyli liczba, przez którą dzielimy. Liczba $3$ to iloraz, czyli wynik pełnego podziału. Liczba $2$ to reszta, czyli to, co zostało.

Dobrze jest umieć nazwać każdą z tych liczb, bo często pojawia się to w zadaniach i na sprawdzianie. Wtedy nie wystarczy policzyć wynik — trzeba jeszcze rozumieć, co oznaczają liczby w działaniu.

Aby wykonać dzielenie z resztą, szukamy, ile razy dzielnik mieści się w dzielnej, ale tak, by nie przekroczyć tej liczby. Potem sprawdzamy, ile zostało.

Na przykład w działaniu $29:6$ szukamy największej wielokrotności liczby $6$, która nie jest większa od $29$. To $24$, bo $6\cdot 4=24$. Następna wielokrotność, $30$, jest już za duża. Zatem $29:6=4$ reszty $5$.

Można sobie pomagać, wypisując wielokrotności dzielnika:

• $6,12,18,24,30$
• wybieramy największą, która nie przekracza $29$
• obliczamy, ile zostało: $29-24=5$

Ta metoda jest szczególnie wygodna wtedy, gdy dopiero uczysz się dzielenia z resztą.

Każde dzielenie z resztą można sprawdzić wzorem:

$$a=b\cdot q+r$$

Tutaj $a$ oznacza dzielną, $b$ oznacza dzielnik, $q$ oznacza iloraz, a $r$ oznacza resztę.

Jeśli mamy $17:5=3$ reszty $2$, to sprawdzamy tak:

$$17=5\cdot 3+2$$

Ponieważ $5\cdot 3=15$, a $15+2=17$, wynik jest poprawny.

W dzieleniu z resztą obowiązuje bardzo ważna zasada: reszta musi być mniejsza od dzielnika. Nie może być równa dzielnikowi ani od niego większa.

Jeśli dzielimy przez $4$, to możliwe reszty to tylko:

• $0$
• $1$
• $2$
• $3$

Nie może być reszty $4$, bo wtedy dałoby się jeszcze utworzyć jedną pełną grupę po $4$. Podobnie przy dzieleniu przez $6$ reszta może wynosić od $0$ do $5$.

Reszta może też być równa $0$. To znaczy, że dzielenie jest dokładne, czyli wykonane bez reszty. Na przykład $20:5=4$ reszty $0$.

Dzielenie z resztą przydaje się w wielu codziennych sytuacjach. Używamy go wtedy, gdy rozdzielamy przedmioty na równe grupy i chcemy wiedzieć, ile zostanie.

Przykład: mamy $18$ jabłek i pakujemy je po $4$ do torebek. Możemy zrobić $4$ pełne torebki, bo $4\cdot 4=16$. Zostaną jeszcze $2$ jabłka. Zapis: $18:4=4$ reszty $2$.

Podobnie liczymy przy układaniu książek na półkach, rozdawaniu cukierków, pakowaniu kredek do pudełek albo sadzaniu dzieci przy stolikach. Iloraz mówi, ile pełnych grup można zrobić, a reszta pokazuje, ile elementów nie zmieściło się do pełnych grup.

W zadaniach tekstowych warto zastanowić się, co oznacza wynik. Czasem pytanie dotyczy liczby pełnych grup, a czasem tego, ile zostanie.