Liczby pierwsze i złożone oraz rozkład na czynniki pierwsze

Wśród liczb naturalnych większych od $1$ wyróżniamy liczby pierwsze i liczby złożone. To bardzo ważny podział, bo pomaga w dalszych obliczeniach i w rozkładaniu liczb na czynniki.

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ oraz samą siebie. Przykłady to $2$, $3$, $5$, $7$.

Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki. Oznacza to, że można ją zapisać jako iloczyn mniejszych liczb naturalnych większych od $1$. Przykłady to $4$, $6$, $8$, $9$, $10$.

Aby sprawdzić, czy liczba jest pierwsza, trzeba zobaczyć, przez jakie liczby się dzieli. Jeśli dzieli się tylko przez $1$ i przez siebie, to jest pierwsza.

Na przykład liczba $7$ ma tylko dzielniki $1$ i $7$, więc jest pierwsza. Liczba $9$ dzieli się przez $1$, $3$ i $9$, więc nie jest pierwsza.

Szczególną liczbą jest $2$. To jedyna parzysta liczba pierwsza. Każda większa liczba parzysta dzieli się przez $2$, więc ma więcej niż dwa dzielniki i jest złożona.

Przy rozpoznawaniu liczb pierwszych i złożonych bardzo pomagają cechy podzielności. Dzięki nim można szybciej sprawdzić, czy liczba dzieli się przez inną liczbę.

• Liczba jest podzielna przez $2$, gdy kończy się cyfrą $0$, $2$, $4$, $6$ lub $8$.
• Liczba jest podzielna przez $3$, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez $3$.
• Liczba jest podzielna przez $5$, gdy kończy się cyfrą $0$ albo $5$.
• Liczba jest podzielna przez $10$, gdy kończy się cyfrą $0$.

Te cechy pomagają szybko zauważyć, że wiele liczb nie jest pierwszych, bo mają dodatkowe dzielniki.

Rozkład na czynniki pierwsze polega na zapisaniu liczby złożonej jako iloczynu samych liczb pierwszych. To tak, jakby rozebrać liczbę na jej najprostsze „klocki”.

Na przykład:

• $12 = 2 \cdot 6$
• potem $6 = 2 \cdot 3$
• więc ostatecznie $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$

Ważne jest to, że końcowy zapis ma zawierać tylko liczby pierwsze. Jeśli w zapisie pojawia się liczba złożona, na przykład $4$ albo $6$, to rozkład nie jest jeszcze skończony.

Rozkład można wykonywać na różne sposoby, ale wynik końcowy będzie taki sam. Można na przykład zacząć od podzielenia liczby przez $2$, przez $3$ albo przez inną liczbę pierwszą, jeśli się da.

Przećwiczmy kilka liczb.

Liczba $10$:

• $10 = 2 \cdot 5$

Obie liczby są pierwsze, więc to już koniec.

Liczba $18$:

• $18 = 2 \cdot 9$
• $9 = 3 \cdot 3$
• więc $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$

Liczba $20$:

• $20 = 2 \cdot 10$
• $10 = 2 \cdot 5$
• więc $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$

Gdy ćwiczysz, zawsze sprawdzaj, czy każdy czynnik w ostatnim zapisie jest liczbą pierwszą. Jeśli tak, rozkład jest poprawny.

Podczas nauki tego tematu uczniowie często popełniają kilka podobnych błędów.

Pierwszy błąd to uznawanie liczby $1$ za liczbę pierwszą. To nieprawda, bo liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa dzielniki, a $1$ ma tylko jeden.

Drugi błąd to kończenie rozkładu zbyt wcześnie, na przykład zapisanie $12 = 3 \cdot 4$. Taki zapis jest prawdziwy, ale to jeszcze nie jest rozkład na czynniki pierwsze, bo $4$ nie jest liczbą pierwszą.

Trzeci błąd to mylenie pojęć dzielnik i czynnik. Dzielnik to liczba, przez którą można podzielić bez reszty, a czynnik to liczba występująca w mnożeniu.

Najlepszy sposób nauki to sprawdzanie małych liczb, szukanie dzielników i częste ćwiczenie rozkładu krok po kroku.