Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Mnożenie i dzielenie to działania bardzo często używane w życiu codziennym. Mnożenie pomaga szybko policzyć kilka takich samych grup, a dzielenie pozwala rozdać coś po równo albo sprawdzić, ile razy jedna liczba mieści się w drugiej.

Gdy mamy kilka jednakowych porcji, wygodniej jest mnożyć niż dodawać wiele razy tę samą liczbę. Na przykład zamiast liczyć $6+6+6+6$, zapisujemy $4\cdot 6$. Wynik mnożenia to iloczyn.

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia. Jeśli $5\cdot 7=35$, to od razu wiemy, że $35:7=5$ i $35:5=7$. Wynik dzielenia to iloraz.

W rachunku pamięciowym bardzo ważna jest dobra znajomość tabliczki mnożenia. Dzięki niej szybciej liczymy także dzielenie, bo dzielenie można sprawdzać przez mnożenie.

Warto pamiętać o prostych zasadach:

• każda liczba razy $1$ daje tę samą liczbę,
• każda liczba razy $0$ daje $0$,
• każda liczba podzielona przez $1$ zostaje bez zmian,
• przez $0$ nie wolno dzielić.

Pomaga też rozkładanie liczb na prostsze części. Na przykład $24\cdot 3$ można policzyć jako $(20\cdot 3)+(4\cdot 3)=60+12=72$. Podobnie przy dzieleniu: $84:4$ można potraktować jako podział liczby $84$ na $80$ i $4$, a potem obliczyć wynik.

Mnożenie przez $10$, $100$, $1000$ jest łatwe: dopisujemy odpowiednio jedno, dwa lub trzy zera. Przy dzieleniu przez $10$, $100$, $1000$ usuwamy odpowiednią liczbę zer z końca, jeśli liczba je ma.

Mnożenie pisemne przydaje się wtedy, gdy liczby są większe i liczenie w pamięci jest trudne. Zapisujemy liczby jedna pod drugą, zwykle tak, aby cyfry jedności były w tej samej kolumnie.

Mnożenie zaczynamy od cyfry jedności w dolnej liczbie. Każdą cyfrę mnożymy po kolei, zaczynając od prawej strony. Gdy wynik jest większy niż $9$, zapisujemy cyfrę jedności, a dziesiątki przenosimy do następnego działania.

Jeśli mnożymy liczbę wielocyfrową przez liczbę mającą kilka cyfr, zapisujemy częściowe wyniki, a potem je dodajemy. Trzeba uważać na odpowiednie przesunięcie zapisu przy mnożeniu przez dziesiątki, setki i większe rzędy.

Dobrze jest po obliczeniu sprawdzić, czy wynik jest sensowny. Można go oszacować. Jeśli liczymy $198\cdot 4$, to wiemy, że wynik powinien być bliski $200\cdot 4$, czyli bliski $800$.

Dzielenie pisemne wykonujemy krok po kroku. Sprawdzamy, ile razy dzielnik mieści się w kolejnych częściach dzielnej. Zapisujemy odpowiednią cyfrę wyniku, mnożymy, odejmujemy i sprowadzamy następną cyfrę.

Najważniejsze jest dobre oszacowanie, ile razy dzielnik mieści się w danej liczbie. Jeśli pomylimy się o jeden, dalsze obliczenia będą niepoprawne. Dlatego warto znać tabliczkę mnożenia i umieć szybko porównywać iloczyny.

Nie zawsze da się podzielić liczbę naturalną równo. Wtedy mówimy o dzieleniu z resztą. Na przykład $17:5=3$ reszty $2$, bo po rozdzieleniu na równe grupy zostają jeszcze $2$ elementy.

Po obliczeniu warto wykonać sprawdzenie. Wynik dzielenia najlepiej sprawdzać przez mnożenie. Jeśli wyszło $48:6=8$, to sprawdzamy, czy $8\cdot 6=48$. Przy dzieleniu z resztą korzystamy z zapisu $a=b\cdot q+r$.

Częste błędy to:

• pomijanie kolejności działań,
• mylenie mnożenia z dodawaniem,
• błędne przenoszenie w mnożeniu pisemnym,
• zapominanie, że przez $0$ nie dzielimy,
• zapisanie reszty większej lub równej dzielnikowi.

W zadaniach tekstowych najpierw trzeba ustalić, czy sytuacja oznacza mnożenie, czy dzielenie. Gdy mamy kilka równych grup, zwykle mnożymy. Gdy rozdajemy po równo albo szukamy liczby grup, zwykle dzielimy.