Równania i nierówności liniowe

1.Równanie liniowe

Równanie z jedną niewiadomą, które można sprowadzić do postaci $ax+b=0$, gdzie $a$ i $b$ to dane liczby. Szukamy takiej wartości niewiadomej, dla której obie strony są równe. Gdy $a\neq 0$, jest dokładnie jedno rozwiązanie $x=-\frac{b}{a}$, a gdy $a=0$, równanie jest sprzeczne albo tożsamościowe.

2.Nierówność liniowa

Nierówność z jedną niewiadomą, którą można sprowadzić do postaci $ax+b>0$, $ax+b<0$, $ax+b\ge 0$ lub $ax+b\le 0$, gdzie $a$ i $b$ to dane liczby. Wynikiem jest zwykle przedział liczb.

3.Rozwiązanie równania

Liczba, która po podstawieniu za niewiadomą sprawia, że lewa i prawa strona równania mają tę samą wartość.

4.Rozwiązanie nierówności

Każda liczba, która po podstawieniu za niewiadomą czyni nierówność prawdziwą. Zbiorem rozwiązań jest najczęściej półprosta albo przedział.

5.Przekształcenia równoważne

Działania wykonywane po obu stronach równania lub nierówności, które nie zmieniają zbioru rozwiązań, np. dodanie tej samej liczby do obu stron.

6.Redukcja wyrazów podobnych

Łączenie składników tego samego rodzaju, np. $3x-2x=x$ oraz $5-7=-2$. Ułatwia sprowadzenie wyrażenia do prostszej postaci.

7.Usuwanie nawiasów

Przekształcanie wyrażeń z nawiasami przez zastosowanie znaków działań, np. $-(x-3)=-x+3$ lub $2(x+4)=2x+8$.

8.Mnożenie nierówności przez liczbę ujemną

Jeśli obie strony nierówności mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, znak nierówności zmienia zwrot, np. z $>$ na $<$.

9.Sprzeczność

Wynik typu $0=5$ albo $3<1$. Oznacza, że równanie lub nierówność nie ma żadnych rozwiązań.

10.Tożsamość

Wynik typu $0=0$. Oznacza, że równanie jest prawdziwe dla każdej liczby z dziedziny.

11.Zbiór pusty

Oznaczany przez $\varnothing$. Używamy go, gdy równanie lub nierówność nie ma żadnego rozwiązania.

12.Przedział liczbowy

Sposób zapisu zbioru rozwiązań nierówności, np. $x>2$ zapisujemy jako $(2,\infty)$, a $x\le 5$ jako $(-\infty,5]$.