Prawdopodobieństwo w prostych doświadczeniach losowych

Doświadczenie losowe to taka czynność, której wyniku nie umiemy przewidzieć na pewno, chociaż znamy możliwe rezultaty. W matematyce w klasach 7–8 najczęściej spotkasz bardzo proste doświadczenia: rzut monetą, rzut kostką albo losowanie kuli, kartki czy klocka.

Każdy pojedynczy rezultat to wynik doświadczenia. Na przykład przy rzucie kostką wynikami są liczby od $1$ do $6$. Przy rzucie monetą wynikami są orzeł i reszka.

Wszystkie możliwe wyniki danego doświadczenia tworzą zbiór wszystkich możliwości. Żeby poprawnie liczyć prawdopodobieństwo, trzeba najpierw dobrze ustalić, jakie wyniki w ogóle są możliwe.

Zdarzenie losowe to sytuacja, która może zajść lub nie zajść. Nie musi oznaczać jednego wyniku. Może obejmować kilka wyników naraz.

Przykład: przy rzucie kostką zdarzenie „wypadnie liczba parzysta” obejmuje wyniki $2$, $4$, $6$. Takie wyniki nazywamy wynikami sprzyjającymi temu zdarzeniu.

Wyróżniamy też dwa szczególne rodzaje zdarzeń:

• zdarzenie pewne – zajdzie na pewno,
• zdarzenie niemożliwe – nie może zajść.

Dla zwykłej kostki zdarzenie „wypadnie liczba od $1$ do $6$” jest pewne, a „wypadnie $9$” jest niemożliwe.

W zadaniach bardzo ważne jest dokładne czytanie treści. Zwroty takie jak „liczba większa niż $4$”, „liczba nieparzysta”, „kolor czerwony” albo „co najmniej $3$” mówią, które wyniki są sprzyjające.

W prostych doświadczeniach losowych, gdy wszystkie wyniki mają taką samą szansę, używamy wzoru:

$$P=\frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich możliwych wyników}}$$

To znaczy, że najpierw liczymy wszystkie możliwe wyniki, a potem tylko te, które pasują do zdarzenia.

Przykład dla kostki: zdarzenie „wypadnie liczba większa niż $4$”. Wyniki sprzyjające to $5$ i $6$, czyli $2$. Wszystkich wyników jest $6$. Zatem:

$$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Prawdopodobieństwo można zapisywać jako ułamek, liczbę dziesiętną albo procent. Na przykład:

• $\frac{1}{2}=0{,}5=50\%$
• $\frac{1}{4}=0{,}25=25\%$
• $\frac{3}{5}=0{,}6=60\%$

Dobrze jest na końcu sprawdzić, czy wynik ma sens. Jeśli wyjdzie liczba większa niż $1$ albo ujemna, to znaczy, że popełniono błąd.

Prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą od $0$ do $1$.

• Jeśli $P=0$, zdarzenie jest niemożliwe.
• Jeśli $P=1$, zdarzenie jest pewne.
• Jeśli $P$ jest bliżej $1$, zdarzenie ma dużą szansę zajść.
• Jeśli $P$ jest bliżej $0$, zdarzenie ma małą szansę zajść.

Przykład: w woreczku są $4$ kule zielone i $1$ żółta.

• dla zdarzenia „wylosuję kulę zieloną” mamy $P=\frac{4}{5}$,
• dla zdarzenia „wylosuję kulę żółtą” mamy $P=\frac{1}{5}$.

Widzimy więc, że kula zielona jest bardziej prawdopodobna do wylosowania, bo odpowiada jej większy ułamek.

Najczęstsze zadania dotyczą kilku typowych doświadczeń.

Przy rzucie monetą są tylko dwa wyniki: orzeł i reszka. Dlatego prawdopodobieństwo wyrzucenia orła to zwykle $\frac{1}{2}$.

Przy rzucie kostką jest sześć wyników: od $1$ do $6$. Jeśli pytanie dotyczy jednego konkretnego wyniku, na przykład liczby $3$, to prawdopodobieństwo wynosi $\frac{1}{6}$.

Przy losowaniu z woreczka lub pudełka trzeba policzyć, ile jest wszystkich elementów oraz ile z nich spełnia warunek.

Przykład: w pudełku są $3$ długopisy niebieskie, $2$ czarne i $1$ czerwony. Wszystkich długopisów jest $6$. Prawdopodobieństwo wylosowania czarnego długopisu wynosi $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Jeżeli pytanie brzmi „jaka jest szansa wylosowania koloru innego niż czerwony”, trzeba zliczyć wszystkie wyniki pasujące do tego warunku, czyli tutaj $5$ z $6$.

W niektórych zadaniach wykonujemy dwa losowania. Wtedy bardzo ważne jest, czy losujemy ze zwracaniem, czy bez zwracania.

Gdy losujemy ze zwracaniem, po pierwszym losowaniu odkładamy przedmiot z powrotem. Liczba wszystkich elementów się nie zmienia, więc przy kolejnym losowaniu szanse są takie same jak na początku.

Gdy losujemy bez zwracania, wylosowany przedmiot nie wraca do zbioru. Wtedy zmienia się liczba wszystkich elementów, a często także liczba elementów danego rodzaju. To oznacza, że prawdopodobieństwo w drugim losowaniu może być inne niż w pierwszym.

Przykład: w pudełku są $2$ czerwone i $3$ niebieskie kule.

• na początku prawdopodobieństwo czerwonej to $\frac{2}{5}$,
• jeśli bez zwracania wylosowano już czerwoną, zostaje $1$ czerwona z $4$ kul, więc teraz prawdopodobieństwo czerwonej to $\frac{1}{4}$.