Graniastosłupy: rodzaje, objętość i pole powierzchni

Graniastosłup to bryła, która ma dwie jednakowe podstawy leżące w równoległych płaszczyznach. Podstawy są wielokątami, a ściany łączące te podstawy nazywamy ścianami bocznymi. W klasach 7–8 najczęściej pracujemy z graniastosłupami prostymi, czyli takimi, w których krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.

Nazwa graniastosłupa zależy od kształtu podstawy. Jeśli podstawa jest trójkątem, mamy graniastosłup trójkątny. Jeśli podstawa jest pięciokątem, mamy graniastosłup pięciokątny.

Najważniejsze elementy graniastosłupa to: podstawa, ściany boczne, krawędzie podstaw, krawędzie boczne i wierzchołki.

Rodzaje graniastosłupów rozpoznajemy po podstawie. Możemy mieć graniastosłup trójkątny, czworokątny, pięciokątny, sześciokątny i inne. Liczba ścian bocznych jest taka sama jak liczba boków w podstawie.

Przykłady:

• graniastosłup trójkątny ma $3$ ściany boczne,
• graniastosłup czworokątny ma $4$ ściany boczne,
• graniastosłup sześciokątny ma $6$ ścian bocznych.

W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami. To bardzo ułatwia obliczanie pól powierzchni.

Wysokość graniastosłupa to odległość między jego podstawami. W graniastosłupie prostym wysokość jest równa długości krawędzi bocznej. Nie wolno mylić wysokości bryły z wysokością figury w podstawie, na przykład z wysokością trójkąta.

Bardzo pomocna jest siatka graniastosłupa. To rysunek bryły „rozłożonej” na płaszczyźnie. W siatce widzimy obie podstawy i wszystkie ściany boczne. Dzięki temu łatwiej policzyć pole powierzchni całkowitej.

Gdy analizujesz siatkę, sprawdź:

• jakie figury tworzą podstawy,
• ile jest ścian bocznych,
• jakie wymiary mają prostokąty boczne,
• która długość jest wysokością bryły.

Objętość mówi, ile miejsca jest wewnątrz bryły. Dla każdego graniastosłupa liczymy ją ze wzoru:

$$V=P_p\cdot h$$

Tutaj $P_p$ oznacza pole podstawy, a $h$ oznacza wysokość graniastosłupa. Najpierw trzeba więc umieć policzyć pole figury, która jest w podstawie.

Jeśli podstawa jest prostokątem o bokach $a$ i $b$, to:

$$P_p=a\cdot b$$

Potem mnożymy otrzymane pole przez wysokość bryły.

Jeśli podstawa jest trójkątem, najpierw liczymy pole trójkąta, a dopiero potem korzystamy ze wzoru na objętość.

Pamiętaj też o jednostkach. Objętość zapisujemy w jednostkach sześciennych, na przykład $cm^3$, $dm^3$, $m^3$.

Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich ścian bryły. Obejmuje ono dwie podstawy oraz wszystkie ściany boczne.

Najczęściej zapisujemy to tak:

$$P_c=2P_p+P_b$$

Tutaj $P_c$ to pole powierzchni całkowitej, $P_p$ to pole podstawy, a $P_b$ to pole powierzchni bocznej, czyli suma pól wszystkich ścian bocznych.

W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami, więc pole boczne obliczamy przez dodanie pól tych prostokątów. Czasem wygodnie jest policzyć każde pole osobno, a czasem zauważyć powtarzające się ściany.

Pole powierzchni zapisujemy w jednostkach kwadratowych, na przykład $cm^2$ albo $m^2$.

W zadaniach o graniastosłupach najlepiej działać krok po kroku.

• Odczytaj, jaki wielokąt jest w podstawie.
• Policz pole podstawy.
• Ustal wysokość graniastosłupa.
• Jeśli liczysz objętość, użyj wzoru $V=P_p\cdot h$.
• Jeśli liczysz pole całkowite, dodaj pola obu podstaw i ścian bocznych.

Częste błędy:

• mylenie objętości z polem powierzchni,
• wpisywanie złych jednostek, na przykład $cm^2$ zamiast $cm^3$,
• używanie długości boku podstawy zamiast pola podstawy we wzorze na objętość,
• zapominanie, że podstawy są dwie.