Długość okręgu

Okrąg to zbiór punktów, które leżą w tej samej odległości od jednego punktu. Tym punktem jest środek okręgu. Ta sama odległość od środka do każdego punktu okręgu to promień oznaczany literą $r$.

Jeśli połączymy dwa punkty okręgu odcinkiem przechodzącym przez środek, otrzymamy średnicę oznaczaną literą $d$. Średnica jest zawsze dwa razy dłuższa od promienia.

Zależności, które trzeba znać:

• $d=2r$
• $r=\frac{d}{2}$

Warto też pamiętać o różnicy między okręgiem a kołem. Okrąg to tylko linia brzegowa, a koło to okrąg razem z jego wnętrzem.

Długość okręgu to długość jego brzegu, czyli obwód tej figury. Można powiedzieć, że jest to droga „dookoła” okręgu.

Do obliczania długości okręgu używamy liczby $\pi$. Jest to stała matematyczna, której szkolne przybliżenie to najczęściej $3{,}14$. W niektórych zadaniach wynik zostawia się z $\pi$, bez zamiany na liczbę dziesiętną.

Mamy dwa równoważne wzory:

• $L=2\pi r$
• $L=\pi d$

Pierwszy wzór stosujemy, gdy znamy promień. Drugi wzór stosujemy, gdy znamy średnicę. Ponieważ $d=2r$, oba wzory oznaczają to samo.

Aby dobrze obliczyć długość okręgu, najpierw sprawdź, czy w zadaniu podano promień czy średnicę. To bardzo ważne, bo od tego zależy wybór najprostszej wersji wzoru.

Sposób liczenia:

• odczytaj dane z zadania
• wybierz odpowiedni wzór: $L=2\pi r$ lub $L=\pi d$
• wstaw dane do wzoru
• oblicz wynik
• zapisz odpowiednią jednostkę długości, na przykład cm lub m

Przykład 1:

Promień okręgu wynosi $4\ \text{cm}$.

Wtedy:

• $L=2\pi r$
• $L=2\pi\cdot 4$
• $L=8\pi\ \text{cm}$

Przykład 2:

Średnica okręgu wynosi $7\ \text{m}$.

Wtedy:

• $L=\pi d$
• $L=\pi\cdot 7$
• $L=7\pi\ \text{m}$

Jeżeli polecenie każe podać wynik w przybliżeniu, zamieniamy $\pi$ na $3{,}14$ i liczymy dalej.

W matematyce często spotkasz dwa rodzaje odpowiedzi. Wynik dokładny zostawiamy z liczbą $\pi$, na przykład $12\pi\ \text{cm}$. Taki zapis jest dokładniejszy i zwykle lepszy, jeśli zadanie nie każe podać przybliżenia.

Wynik przybliżony otrzymujemy po podstawieniu za $\pi$ liczby $3{,}14$. Na przykład:

• $12\pi\ \text{cm}\approx 12\cdot 3{,}14\ \text{cm}$
• $12\pi\ \text{cm}\approx 37{,}68\ \text{cm}$

Trzeba uważnie czytać polecenie. Gdy jest napisane „oblicz dokładnie”, wynik zostawiamy z $\pi$. Gdy jest napisane „podaj przybliżenie”, używamy liczby $3{,}14$ albo innego przybliżenia wskazanego w zadaniu.

Czasem w zadaniu podana jest długość okręgu, a trzeba znaleźć promień albo średnicę. Wtedy korzystamy z tych samych wzorów, tylko „w drugą stronę”.

Jeśli szukamy średnicy:

• z wzoru $L=\pi d$ otrzymujemy $d=\frac{L}{\pi}$

Jeśli szukamy promienia:

• z wzoru $L=2\pi r$ otrzymujemy $r=\frac{L}{2\pi}$

Przykład:

Jeśli $L=16\pi\ \text{cm}$, to:

• $d=\frac{16\pi}{\pi}=16\ \text{cm}$
• $r=\frac{16}{2}=8\ \text{cm}$

Widać więc, że najpierw można znaleźć średnicę, a potem promień. Można też od razu obliczyć promień z drugiego wzoru.

Przy obliczaniu długości okręgu uczniowie często popełniają podobne błędy. Warto je znać, żeby łatwiej ich uniknąć.

Najczęstsze pomyłki:

• użycie wzoru na pole koła $P=\pi r^2$ zamiast wzoru na długość okręgu
• pomylenie promienia ze średnicą
• brak jednostki w odpowiedzi
• zapisanie wyniku w jednostkach pola, na przykład $\text{cm}^2$, chociaż chodzi o długość
• niepotrzebne zaokrąglenie wyniku, gdy trzeba podać wynik dokładny

Dobra kontrola wyniku:

• sprawdź, czy użyty wzór dotyczy długości, a nie pola
• sprawdź, czy liczba podana w zadaniu to $r$ czy $d$
• upewnij się, że odpowiedź ma jednostkę długości: cm, m, km