NWD i NWW — wspólne dzielniki i wielokrotności

Aby dobrze zrozumieć $NWD$ i $NWW$, trzeba najpierw znać pojęcia dzielnika i wielokrotności. Dzielnik to liczba, przez którą można podzielić inną liczbę bez reszty. Na przykład dzielnikami liczby $12$ są: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$.

Wielokrotność liczby otrzymujemy przez jej mnożenie przez liczby naturalne. Wielokrotności liczby $3$ to: $3$, $6$, $9$, $12$, $15$, $18$ i dalej. Takich wielokrotności jest zawsze bardzo dużo.

W zadaniach warto pamiętać o różnicy:

• dzielniki zwykle wypisujemy jako liczby, które „mieszczą się” w danej liczbie,
• wielokrotności to kolejne wyniki mnożenia,
• dzielników danej liczby jest skończenie wiele,
• wielokrotności danej liczby jest nieskończenie wiele.

Gdy porównujemy dwie liczby, szukamy tego, co mają wspólnego. Wspólny dzielnik to liczba, która dzieli obie liczby bez reszty. Dla liczb $12$ i $18$ wspólne dzielniki to: $1$, $2$, $3$, $6$.

Wspólna wielokrotność to liczba, która jest wielokrotnością obu liczb. Dla liczb $4$ i $6$ wspólne wielokrotności to na przykład: $12$, $24$, $36$.

Najważniejsze są dwa pojęcia:

• $NWD$ — największy wspólny dzielnik,
• $NWW$ — najmniejsza wspólna wielokrotność.

Jeśli więc dla liczb $12$ i $18$ największym wspólnym dzielnikiem jest $6$, to zapisujemy $NWD(12,18)=6$. Jeśli dla liczb $4$ i $6$ najmniejszą wspólną wielokrotnością jest $12$, to zapisujemy $NWW(4,6)=12$.

Najprostszy sposób to wypisanie wszystkich dzielników obu liczb i znalezienie największej liczby, która pojawia się na obu listach.

Przykład dla $8$ i $12$:

• dzielniki $8$: $1, 2, 4, 8$,
• dzielniki $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

Wspólne dzielniki to $1, 2, 4$, więc $NWD(8,12)=4$.

Przy większych liczbach pomaga rozkład na czynniki pierwsze. To zapis liczby jako iloczynu liczb pierwszych.

• $18=2\cdot 3\cdot 3$
• $24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$

Do $NWD$ bierzemy tylko te czynniki, które są wspólne w obu rozkładach. W tym przykładzie są to $2$ i $3$, więc:

$$NWD(18,24)=2\cdot 3=6$$

Ten sposób jest wygodny, gdy liczby mają dużo dzielników.

Można wypisać wielokrotności obu liczb i znaleźć najmniejszą wspólną.

Przykład dla $3$ i $5$:

• wielokrotności $3$: $3, 6, 9, 12, 15, 18, \dots$
• wielokrotności $5$: $5, 10, 15, 20, \dots$

Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest $15$, więc $NWW(3,5)=15$.

Można też skorzystać z rozkładu na czynniki pierwsze.

• $6=2\cdot 3$
• $8=2\cdot 2\cdot 2$

Przy $NWW$ bierzemy wszystkie potrzebne czynniki z obu rozkładów, tak aby dało się z nich zbudować obie liczby. Tu potrzebujemy trzech dwójek i jednej trójki:

$$NWW(6,8)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3=24$$

Aby sprawnie liczyć $NWD$ i $NWW$, warto znać liczby pierwsze. Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i samą siebie. Przykłady to $2$, $3$, $5$, $7$, $11$. Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki. Na przykład $12$ jest złożona.

Rozkład na czynniki pierwsze polega na zapisaniu liczby jako iloczynu liczb pierwszych.

• $12=2\cdot 2\cdot 3$
• $20=2\cdot 2\cdot 5$
• $30=2\cdot 3\cdot 5$

Dzięki temu łatwiej zauważyć:

• które czynniki są wspólne — to pomaga przy $NWD$,
• które czynniki trzeba zebrać razem — to pomaga przy $NWW$.

Uważaj, żeby nie kończyć rozkładu na liczbach złożonych. Zapis $12=3\cdot 4$ jest prawdziwy, ale to jeszcze nie jest pełny rozkład na czynniki pierwsze, bo $4$ nie jest liczbą pierwszą.

W zadaniach tekstowych trzeba rozpoznać, czy chodzi o dzielenie na równe części, czy o wspólne powtarzanie się zdarzeń.

Użyj $NWD$, gdy:

• dzielisz coś na największe możliwe równe grupy,
• chcesz, aby nic nie zostało,
• szukasz największej liczby, która „pasuje” do obu liczb.

Użyj $NWW$, gdy:

• szukasz najmniejszej liczby wspólnej dla dwóch rytmów lub cykli,
• pytanie brzmi: „po ilu razach?”, „po ilu minutach?”, „kiedy znowu razem?”
• potrzebna jest najmniejsza wspólna wielokrotność.

Przykłady z życia:

• Z $12$ jabłek i $18$ gruszek chcesz zrobić jednakowe paczki bez reszty. Tu przyda się $NWD$.
• Jeden zegar wybija co $15$ minut, a drugi co $20$ minut. Tu przyda się $NWW$.

Dobrze jest też sprawdzić, czy wynik ma sens. Jeśli szukasz $NWW$, wynik nie może być mniejszy od porównywanych liczb. Jeśli szukasz $NWD$, wynik musi być dzielnikiem każdej z nich.