Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Ułamek zwykły może oznaczać część całości, na przykład $\frac{1}{2}$ pizzy albo $\frac{3}{4}$ litra soku. Gdy mnożymy ułamki, obliczamy część jakiejś części. To często pojawia się w życiu codziennym: połowa z $\frac{2}{3}$ tabliczki czekolady, $\frac{3}{4}$ z połowy metra materiału albo $\frac{2}{5}$ z porcji ciasta.

Zasada jest prosta: przy mnożeniu ułamków mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Potem sprawdzamy, czy wynik da się skrócić.

Przykład: $\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}$. Najpierw mnożymy liczby na górze: $2\cdot 5=10$. Potem liczby na dole: $3\cdot 4=12$. Otrzymujemy $\frac{10}{12}$. Ten wynik można skrócić przez $2$, więc dostajemy $\frac{5}{6}$.

Przed mnożeniem warto czasem wykonać skracanie przed mnożeniem. To ułatwia obliczenia i zmniejsza liczby. Na przykład w działaniu $\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{4}$ można skrócić $2$ z $4$ oraz $3$ z $9$. Wtedy rachunek staje się prostszy.

Gdy mnożysz ułamek przez liczbę naturalną, pamiętaj, że każdą taką liczbę można zapisać jako ułamek o mianowniku $1$. Na przykład $3=\frac{3}{1}$, więc $\frac{2}{7}\cdot 3=\frac{2}{7}\cdot\frac{3}{1}=\frac{6}{7}$.

Przy dzieleniu ułamków nie dzielimy licznika przez licznik ani mianownika przez mianownik. Zamiast tego zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka.

Odwrotność ułamka powstaje przez zamianę miejscami licznika i mianownika. Odwrotność $\frac{3}{5}$ to $\frac{5}{3}$, a odwrotność $\frac{7}{2}$ to $\frac{2}{7}$.

Jeśli mamy działanie $\frac{3}{4}:\frac{2}{5}$, to zapisujemy je jako $\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}$. Dalej liczymy jak zwykłe mnożenie ułamków.

Jeżeli dzielisz ułamek przez liczbę naturalną, najpierw zapisz tę liczbę jako ułamek z mianownikiem $1$. Na przykład:

• $\frac{3}{4}:2=\frac{3}{4}:\frac{2}{1}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$
• $\frac{5}{6}:3=\frac{5}{6}:\frac{3}{1}=\frac{5}{18}$

Można też spotkać sytuację odwrotną, gdy liczba naturalna jest dzielona przez ułamek. Wtedy również zamieniamy liczbę na ułamek. Na przykład:

• $2:\frac{1}{3}=\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{1}=\frac{6}{1}=6$

To ma sens: w dwóch całościach mieszczą się aż sześć części po $\frac{1}{3}$.

Liczba mieszana to zapis z całością i ułamkiem, na przykład $1\frac{1}{2}$ albo $2\frac{3}{4}$. Przed mnożeniem lub dzieleniem trzeba ją zamienić na ułamek niewłaściwy.

Jak to zrobić? Mnożymy całość przez mianownik i dodajemy licznik. Wynik wpisujemy do licznika, a mianownik zostaje ten sam.

• $1\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 2+1}{2}=\frac{3}{2}$
• $2\frac{1}{4}=\frac{2\cdot 4+1}{4}=\frac{9}{4}$

Dopiero po takiej zamianie wykonujemy działanie. Na przykład:

• $1\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=1$
• $2\frac{1}{4}:\frac{3}{2}=\frac{9}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3}{2}$

Po obliczeniu wynik można zostawić jako ułamek niewłaściwy albo zamienić na liczbę mieszaną, jeśli nauczyciel tego wymaga.

Po wykonaniu działania warto zatrzymać się na chwilę i ocenić wynik. To pomaga wychwycić błędy.

Gdy mnożysz przez ułamek mniejszy od $1$, wynik zwykle jest mniejszy od liczby, od której zaczynasz. Na przykład $\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$, więc liczba się zmniejszyła.

Gdy dzielisz przez ułamek mniejszy od $1$, wynik zwykle rośnie. Na przykład $1:\frac{1}{2}=2$, bo w jednej całości mieszczą się dwie połówki.

Warto też pamiętać o skracaniu wyniku do najprostszej postaci. Jeśli wyszło $\frac{6}{8}$, to lepiej zapisać $\frac{3}{4}$.