Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Pierwiastek kwadratowy z liczby to taka liczba, której kwadrat daje liczbę pod pierwiastkiem. Zapisujemy to jako $\sqrt{a}$. Przykład: $\sqrt{16}=4$, bo $4^2=16$.

Pierwiastek sześcienny z liczby to taka liczba, której sześcian daje liczbę pod pierwiastkiem. Zapisujemy to jako $\sqrt[3]{a}$. Przykład: $\sqrt[3]{27}=3$, bo $3^3=27$.

Pod znakiem pierwiastka znajduje się liczba podpierwiastkowa. W zapisie $\sqrt{81}$ jest nią $81$.

W klasach 7–8 pierwiastek kwadratowy liczymy tylko z liczb nieujemnych. Dlatego można obliczyć $\sqrt{0}$, $\sqrt{9}$ czy $\sqrt{2}$, ale nie rozpatrujemy $\sqrt{-4}$.

Inaczej jest z pierwiastkiem sześciennym. Można obliczać także pierwiastki sześcienne z liczb ujemnych, bo liczba ujemna podniesiona do trzeciej potęgi nadal jest ujemna. Na przykład $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Trzeba uważać na zapis. Pierwiastek kwadratowy oznacza wynik nieujemny. Dlatego $\sqrt{25}=5$, a nie $-5$, mimo że także $(-5)^2=25$.

Nie zawsze da się od razu podać dokładny wynik. Wtedy używamy szacowania. Szukamy dwóch najbliższych kwadratów albo sześcianów, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem.

Jeśli chcemy oszacować $\sqrt{30}$, zauważamy, że $5^2=25$ i $6^2=36$. Liczba $30$ leży między $25$ a $36$, więc $\sqrt{30}$ leży między $5$ a $6$.

Podobnie dla $\sqrt[3]{50}$: ponieważ $3^3=27$ i $4^3=64$, otrzymujemy, że $\sqrt[3]{50}$ jest między $3$ a $4$.

Szacowanie przydaje się, gdy porównujemy liczby, sprawdzamy sens wyniku albo wybieramy poprawną odpowiedź w teście.

Dla liczb nieujemnych można korzystać z wygodnych własności. Pierwiastek z iloczynu można rozbić na iloczyn pierwiastków:

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$

Przykład: $\sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{4}=3\cdot 2=6$.

Podobnie działa pierwiastek z ilorazu:

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, gdy $b>0$.

Przykład: $\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}=\frac{7}{3}$.

Takie same pomysły stosujemy także przy pierwiastkach sześciennych, na przykład:

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2}{3}$.

Często warto uprościć wyrażenie z pierwiastkiem. Jeśli pod znakiem pierwiastka ukrywa się pełny kwadrat, można go „wyjąć” przed pierwiastek.

Przykład:

$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$

bo $9$ jest kwadratem liczby $3$.

Podobnie:

$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$

Można też zrobić odwrotnie, czyli włączyć liczbę pod pierwiastek. Liczba stojąca przed pierwiastkiem zamienia się wtedy w swój kwadrat:

$5\sqrt{3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}$.

Pierwiastki tego samego stopnia można mnożyć i dzielić.

Przykłady:

• $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$
• $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5$

W zadaniach często trzeba najpierw uprościć liczby pod pierwiastkiem, a dopiero potem wykonać działanie. To skraca rachunki i zmniejsza ryzyko błędu.

Uważaj na częste pomyłki:

• nie wolno zamieniać $\sqrt{a+b}$ na $\sqrt{a}+\sqrt{b}$
• nie wolno zapisywać $\sqrt{25}=-5$
• przy szacowaniu trzeba porównywać z najbliższymi kwadratami lub sześcianami

Jeśli dobrze znasz kwadraty liczb od $1$ do $20$ i sześciany kilku małych liczb, obliczenia z pierwiastkami stają się dużo łatwiejsze.