Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza pomaga wygodnie zapisywać bardzo duże i bardzo małe liczby. Zamiast pisać wiele zer, używamy zapisu z potęgą liczby $10$. Taki sposób jest czytelny i przydaje się w zadaniach matematycznych, przy danych z nauk przyrodniczych i w technice.

Liczbę zapisujemy w postaci $a\cdot 10^k$. W tym zapisie $a$ to współczynnik, a $k$ to wykładnik potęgi.

W zapisie $a\cdot 10^k$ najważniejsze są dwie części. Współczynnik $a$ musi być liczbą nie mniejszą od $1$ i mniejszą od $10$. Może być całkowity, na przykład $7$, albo dziesiętny, na przykład $3{,}6$.

Wykładnik $k$ mówi, ile miejsc przesunięto przecinek. Gdy $k>0$, liczba jest zwykle duża. Gdy $k<0$, liczba jest zwykle mała, czyli między $0$ a $1$. Gdy $k=0$, ponieważ $10^0=1$, liczba ma wartość równą samemu współczynnikowi.

Przykłady poprawnych zapisów:

• $4\cdot 10^3$
• $1{,}8\cdot 10^{-2}$
• $9{,}25\cdot 10^0$

Przykłady niepoprawnych zapisów:

• $12\cdot 10^3$, bo współczynnik jest za duży
• $0{,}4\cdot 10^5$, bo współczynnik jest za mały

Aby zapisać liczbę w notacji wykładniczej, przesuń przecinek tak, żeby przed nim została jedna cyfra różna od zera. Potem policz, o ile miejsc został przesunięty przecinek.

Jeśli przesuwasz przecinek w lewo, wykładnik jest dodatni. Tak dzieje się przy liczbach dużych.

• $5600=5{,}6\cdot 10^3$
• $120000=1{,}2\cdot 10^5$

Jeśli przesuwasz przecinek w prawo, wykładnik jest ujemny. Tak dzieje się przy liczbach małych.

• $0{,}004=4\cdot 10^{-3}$
• $0{,}00091=9{,}1\cdot 10^{-4}$

Gdy masz liczbę w postaci $a\cdot 10^k$, możesz wrócić do zwykłego zapisu przez przesuwanie przecinka w liczbie $a$.

Przy dodatnim wykładniku przesuwasz przecinek w prawo:

• $3{,}2\cdot 10^4=32000$
• $7\cdot 10^2=700$

Przy ujemnym wykładniku przesuwasz przecinek w lewo:

• $5\cdot 10^{-3}=0{,}005$
• $8{,}4\cdot 10^{-2}=0{,}084$

Przy porównywaniu liczb zapisanych w notacji wykładniczej często najpierw patrzymy na wykładnik. Jeśli współczynniki są takie same, większy wykładnik oznacza większą liczbę.

Na przykład:

• $2\cdot 10^5 > 2\cdot 10^3$
• $6\cdot 10^{-4} < 6\cdot 10^{-2}$

Gdy wykładniki są równe, porównujemy współczynniki:

• $7{,}1\cdot 10^3 > 5{,}9\cdot 10^3$

Dobrze jest też umieć oszacować wartość liczby. Na przykład $4{,}5\cdot 10^6$ to około cztery i pół miliona, a $3{,}2\cdot 10^{-3}$ to trochę więcej niż trzy tysięczne.

W klasach $7$–$8$ spotkasz też proste działania na liczbach zapisanych w tej postaci. Przy mnożeniu mnożymy współczynniki i korzystamy z działań na potęgach dziesięciu.

Przykład:

• $(2\cdot 10^3)\cdot(4\cdot 10^2)=8\cdot 10^5$

Przy dzieleniu dzielimy współczynniki i upraszczamy potęgi dziesięciu.

• $(6\cdot 10^4):(3\cdot 10^2)=2\cdot 10^2$

Po obliczeniu trzeba sprawdzić, czy wynik nadal ma poprawną postać, czyli czy współczynnik jest z przedziału od $1$ do $10$.