Działania na potęgach w klasach 7–8

Potęga to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. W zapisie $a^n$ liczba $a$ to podstawa, a liczba $n$ to wykładnik. Wykładnik mówi, ile razy podstawa występuje w mnożeniu.

Przykład: $3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3$. Tu podstawa to $3$, a wykładnik to $4$.

Potęgi bardzo ułatwiają zapis długich iloczynów. Zamiast pisać wiele razy tę samą liczbę, używamy krótkiego zapisu z wykładnikiem.

Jeśli mnożymy potęgi o tej samej podstawie, to podstawę zostawiamy, a wykładniki dodajemy.

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Przykłady:

• $2^3\cdot2^5=2^{3+5}=2^8$
• $7^2\cdot7^4=7^6$
• $10^1\cdot10^3=10^4$

Dlaczego to działa? Bo na przykład $2^3$ to trzy dwójki w mnożeniu, a $2^5$ to pięć dwójek. Razem mamy osiem dwójek, czyli $2^8$.

Częsty błąd to mnożenie wykładników zamiast ich dodawania. W mnożeniu potęg o tej samej podstawie nie liczymy $3\cdot5$, tylko $3+5$.

Jeśli dzielimy potęgi o tej samej podstawie, to podstawę zostawiamy, a wykładniki odejmujemy.

$$a^m:a^n=a^{m-n}$$

Przykłady:

• $5^7:5^2=5^{7-2}=5^5$
• $9^4:9^1=9^3$
• $10^6:10^2=10^4$

Można to zrozumieć tak: w liczniku i mianowniku występują te same czynniki, więc część z nich się „skraca”. Zostają tylko te, których jest więcej w liczniku.

Trzeba uważać, by nie dodawać wykładników przy dzieleniu. Tu zawsze wykonujemy odejmowanie, jeśli podstawy są takie same.

Jeśli potęga jest podniesiona do kolejnej potęgi, to mnożymy wykładniki.

$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$

Przykłady:

• $(2^3)^4=2^{3\cdot4}=2^{12}$
• $(5^2)^3=5^6$
• $(10^4)^2=10^8$

Sens tej zasady widać po rozwinięciu. Na przykład $(2^3)^4$ oznacza cztery razy liczbę $2^3$, czyli cztery grupy po trzy dwójki. Razem jest $12$ dwójek, więc wynik to $2^{12}$.

Częsty błąd: dodawanie wykładników w potędze potęgi. Tutaj nie dodajemy, tylko mnożymy.

Nie każdą parę potęg można liczyć tą samą regułą. Jeśli podstawy są różne, nie stosujemy zasad „dodaj wykładniki” ani „odejmij wykładniki”.

Jeśli wykładniki są jednakowe, można czasem połączyć liczby w nawiasie:

• $2^4\cdot3^4=(2\cdot3)^4=6^4$
• $12^2:4^2=(12:4)^2=3^2$

To działa dlatego, że ten sam wykładnik dotyczy całego iloczynu albo ilorazu.

Uważaj na różnicę między $2^3\cdot2^4$ a $2^3\cdot3^3$. W pierwszym przykładzie podstawy są takie same, więc dodajemy wykładniki. W drugim podstawy są różne, ale wykładniki jednakowe, więc można połączyć podstawy.

W potęgach bardzo ważne są nawiasy. Pokazują one, co dokładnie podnosimy do potęgi. Jeśli nawias obejmuje całe wyrażenie, to potęga dotyczy wszystkiego, co jest w środku.

Przykłady:

• $(2\cdot5)^3$ oznacza, że do potęgi podnosimy cały iloczyn
• $(3^2)^4$ oznacza potęgę potęgi

Podczas obliczeń warto najpierw rozpoznać typ działania:

• czy jest to mnożenie potęg o tej samej podstawie,
• czy jest to dzielenie potęg o tej samej podstawie,
• czy jest to potęga potęgi,
• czy może potęgi mają różne podstawy, ale ten sam wykładnik.

Szczególnie często używa się potęg liczby $10$. Dzięki nim łatwo zapisywać bardzo duże liczby.

Przykłady:

• $10^1=10$
• $10^2=100$
• $10^3=1000$
• $10^5=100000$

Liczby duże można zapisywać w notacji wykładniczej w postaci $a\cdot10^k$.

Przykłady:

• $300000=3\cdot10^5$
• $7000000=7\cdot10^6$

Taki zapis jest krótki i wygodny, zwłaszcza gdy liczba ma dużo zer. W zadaniach szkolnych często trzeba umieć rozpoznać, ile zer ma liczba zapisana jako potęga liczby $10$.