Zadania tekstowe rozwiązywane równaniami

W zadaniach tekstowych najważniejsze jest zamienienie opisu słownego na język matematyki. Szukanej wielkości nadajemy literę, zwykle $x$, a potem zapisujemy zależności w postaci równania. Dopiero wtedy rozwiązujemy je i wracamy do treści zadania, aby sprawdzić, czy wynik ma sens.

Najczęściej szukamy takich wielkości jak liczba, cena, wiek, długość, czas albo liczba przedmiotów. Trzeba uważnie przeczytać treść i ustalić, co jest dane, a czego nie znamy.

• przeczytaj zadanie spokojnie co najmniej dwa razy
• zaznacz dane i to, czego trzeba szukać
• oznacz niewiadomą literą
• zapisz zależności jako wyrażenia algebraiczne
• ułóż równanie
• rozwiąż je
• sprawdź wynik i zapisz odpowiedź

Oznaczenie niewiadomej powinno być wygodne i zgodne z treścią. Jeśli zadanie mówi o jednej liczbie, można przyjąć po prostu $x$. Jeśli jedna wielkość zależy od drugiej, zwykle bardziej opłaca się oznaczyć literą tę prostszą lub mniejszą.

Przykłady zależności:

• liczba o $5$ większa od $x$ to $x+5$
• liczba o $7$ mniejsza od $x$ to $x-7$
• liczba dwa razy większa od $x$ to $2x$
• połowa liczby $x$ to $\frac{x}{2}$
• trzy kolejne liczby to $x$, $x+1$, $x+2$

W zadaniach bardzo ważne są słowa: suma, różnica, iloczyn, iloraz, większa o, mniejsza o, razy większa. Każde z nich podpowiada odpowiednie działanie.

Gdy już oznaczysz niewiadomą i zapiszesz inne wielkości, trzeba znaleźć zależność, która łączy je w całość. Tą zależnością jest zwykle informacja typu: „suma wynosi...”, „razem zapłacono...”, „obwód jest równy...”, „po obniżce cena wynosi...”. Właśnie z niej tworzymy równanie.

Przykład myślenia:

• szukam liczby, więc przyjmuję $x$
• druga liczba jest o $4$ większa, więc to $x+4$
• ich suma wynosi $18$
• układam równanie: $x+(x+4)=18$

W zadaniach geometrycznych równanie często powstaje z gotowego wzoru, na przykład na obwód lub pole. W zadaniach praktycznych korzystamy też ze wzoru $$s=v\cdot t$$.

W szkole podstawowej często spotyka się kilka typów zadań tekstowych. Warto rozpoznawać schemat, bo wtedy łatwiej dobrać zapis.

Liczby i liczby kolejne

Tu pojawiają się zdania o sumie, różnicy albo iloczynie liczb. Kolejne liczby zapisujemy jako $x$, $x+1$, $x+2$.

Wiek

Jeśli ktoś jest starszy o pewną liczbę lat, zapisujemy to przez dodawanie, np. $x+12$. Trzeba uważać, czy zadanie dotyczy wieku teraz, czy za kilka lat.

Zakupy

Cena jednego przedmiotu razy liczba sztuk daje koszt. Na przykład $4$ jednakowe zeszyty po $x$ zł kosztują $4x$.

Geometria

Niewiadomą może być długość boku. Wtedy korzystamy z własności figur i wzorów na obwód lub pole.

Droga, prędkość, czas

Podstawowa zależność to $$s=v\cdot t$$. Jeśli rowerzysta jedzie z prędkością $15\ \text{km/h}$ przez $x$ godzin, to przejeżdża $15x$ km.

Procenty

Na przykład $20\%$ liczby to $0{,}2x$, a po obniżce o $15\%$ zostaje $85\%$, czyli $0{,}85x$.

Po ułożeniu równania rozwiązujemy je metodą równań równoważnych. Chodzi o to, by po obu stronach wykonywać takie same działania i doprowadzić do postaci, w której znamy wartość $x$. Potem trzeba wrócić do treści zadania.

Sprawdzenie jest konieczne, bo czasem rachunki są poprawne, ale wynik nie pasuje do sytuacji. Na przykład może wyjść liczba ujemna jako długość albo liczba osób, a to nie ma sensu.

Podczas sprawdzania:

• podstaw otrzymaną liczbę do równania
• sprawdź, czy obie strony są równe
• oceń, czy wynik pasuje do treści
• pamiętaj o jednostce, jeśli występuje

Dobrze jest też zadać sobie pytanie, czy wynik jest realistyczny. Jeśli zeszyt miałby kosztować $0{,}03$ zł albo ktoś miałby $-2$ lata, to znaczy, że trzeba wrócić do treści lub obliczeń.

Najwięcej pomyłek bierze się nie z trudnych rachunków, lecz z niedokładnego czytania. Uczeń często źle zapisuje zależność między wielkościami albo myli „o ile więcej” z „ile razy więcej”.

Typowe błędy:

• oznaczenie niewłaściwej wielkości przez $x$
• zapisanie „o $5$ większa” jako $5x$ zamiast $x+5$
• pominięcie jednego z elementów sumy lub obwodu
• mylenie procentu z liczbą, np. zapis $20x$ zamiast $0{,}2x$
• brak sprawdzenia rozwiązania
• brak odpowiedzi słownej

Jak unikać błędów:

• zapisuj krótko, co oznacza $x$
• rób pomocnicze wyrażenia obok treści
• podkreślaj słowa kluczowe: suma, razem, starszy, tańszy, obwód, procent
• po rozwiązaniu zawsze napisz odpowiedź pełnym zdaniem