Równania pierwszego stopnia

Równanie to zapis ze znakiem równości, w którym występuje niewiadoma, najczęściej $x$. Szukamy takiej liczby, która po podstawieniu za $x$ sprawi, że lewa i prawa strona będą sobie równe. Tę liczbę nazywamy rozwiązaniem równania.

Równanie pierwszego stopnia w klasach 7–8 to takie, w którym niewiadoma występuje „w pierwszej potędze”, na przykład: $2x+3=11$, $5-x=9$, $3(x+2)=18$.

Najważniejszy cel podczas rozwiązywania jest prosty: doprowadzić równanie do postaci $x=a$, gdzie $a$ jest liczbą.

Metoda równań równoważnych polega na takim przekształcaniu równania, aby nie zmienić jego rozwiązań. Otrzymujemy wtedy kolejne równania, które wyglądają inaczej, ale mają ten sam wynik.

W tej metodzie wolno wykonywać po obu stronach równania to samo działanie:

• dodać tę samą liczbę,
• odjąć tę samą liczbę,
• pomnożyć przez tę samą liczbę różną od zera,
• podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Dzięki temu równość pozostaje zachowana. To działa podobnie jak waga szalkowa: jeśli do obu szalek dodasz to samo albo zdejmiesz to samo, równowaga się nie zmieni.

Równania równoważne mają dokładnie ten sam zbiór rozwiązań. Dlatego każdy krok trzeba robić ostrożnie i po obu stronach.

Przy rozwiązywaniu warto działać według stałego schematu. Najpierw upraszczamy obie strony równania. Jeśli są nawiasy, usuwamy je. Jeśli są wyrazy podobne, łączymy je. Potem zbieramy wszystkie wyrazy z $x$ po jednej stronie, a same liczby po drugiej.

Na końcu wykonujemy działanie odwrotne, aby zostało samo $x$. Jeśli mamy na przykład $4x=20$, dzielimy obie strony przez $4$ i dostajemy $x=5$.

Przykład:

• $3x+7=19$
• odejmujemy $7$ od obu stron: $3x=12$
• dzielimy obie strony przez $3$: $x=4$

W bardziej rozbudowanych równaniach kolejność jest podobna: najpierw porządek, potem przenoszenie wyrazów, na końcu obliczenie niewiadomej. Działania odwrotne, redukcja wyrazów podobnych i uważne liczenie znaków są tutaj kluczowe.

W wielu równaniach pojawiają się nawiasy. Jeśli przed nawiasem stoi plus, wyrazy w nawiasie nie zmieniają znaków, na przykład $+(x-3)=x-3$. Jeśli przed nawiasem stoi minus, trzeba zmienić znaki wszystkich wyrazów w nawiasie, na przykład $-(x-3)=-x+3$.

Po usunięciu nawiasów często można wykonać redukcję wyrazów podobnych. Oznacza to łączenie wyrazów z $x$ z wyrazami z $x$ oraz liczb z liczbami. Na przykład:

• $5x-2x=3x$
• $7-4=3$
• $2x+3x-1=5x-1$

To bardzo upraszcza dalsze obliczenia. Częsty błąd to nieuwaga przy minusie przed nawiasem. Wtedy cały wynik może wyjść źle, mimo że dalsze kroki są poprawne.

Gdy w równaniu występują ułamki, często wygodnie jest usunąć mianowniki. Robimy to przez pomnożenie obu stron przez tę samą liczbę różną od zera. Na przykład z równania $\frac{x}{4}=3$ po pomnożeniu obu stron przez $4$ dostajemy $x=12$.

Jeśli niewiadoma występuje po obu stronach, zbieramy wszystkie wyrazy z $x$ po jednej stronie. Przykład:

• $4x+2=2x+10$
• odejmujemy $2x$ od obu stron: $2x+2=10$
• odejmujemy $2$: $2x=8$
• dzielimy przez $2$: $x=4$

W takich zadaniach ważne jest, aby nie „przenosić” wyrazów mechanicznie bez rozumienia. W rzeczywistości zawsze dodajemy albo odejmujemy to samo po obu stronach. To właśnie daje równanie równoważne.

Po rozwiązaniu równania warto zrobić sprawdzenie. Podstawiamy otrzymaną liczbę do początkowego równania i obliczamy obie strony. Jeśli wyjdzie ta sama wartość, wynik jest poprawny.

Czasem po przekształceniach nie otrzymujemy postaci $x=a$. Mogą pojawić się dwa szczególne przypadki.

• Jeśli otrzymamy zdanie fałszywe, na przykład $0=5$, to równanie jest sprzeczne i nie ma rozwiązania.
• Jeśli otrzymamy zdanie prawdziwe, na przykład $0=0$, to równanie jest tożsamościowe i ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Umiejętność rozpoznania tych sytuacji jest bardzo ważna na sprawdzianie. Nie każde równanie kończy się jedną liczbą.