Funkcja kwadratowa w trzech postaciach

Funkcja kwadratowa to funkcja opisana wzorem $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq 0$. Najważniejsze jest to, że przy zmiennej występuje składnik $x^2$, dlatego wykresem takiej funkcji jest parabola. W zależności od znaku współczynnika $a$ ramiona paraboli są skierowane w górę albo w dół.

Jeśli $a>0$, parabola jest „otwarta” do góry i funkcja ma wartość najmniejszą. Jeśli $a<0$, ramiona są skierowane w dół i funkcja ma wartość największą. Wartość bezwzględna $|a|$ wpływa na kształt wykresu: większe $|a|$ daje parabolę węższą, a mniejsze — szerszą.

W liceum bardzo ważne jest rozpoznawanie trzech postaci funkcji kwadratowej oraz umiejętność przechodzenia między nimi. Każda z nich najlepiej pokazuje inne własności funkcji i wykresu.

Postać ogólna ma wzór $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq 0$. Jest to podstawowy zapis funkcji kwadratowej i zwykle od niego zaczyna się zadanie.

Z tej postaci od razu odczytujemy:

• współczynnik $a$, który decyduje o kierunku ramion paraboli,
• wyraz wolny $c$, czyli wartość funkcji dla $x=0$,
• punkt przecięcia wykresu z osią $OY$, który ma współrzędne $(0,c)$.

Aby znaleźć oś symetrii paraboli, korzystamy ze wzoru

$$x=-\frac{b}{2a}.$$

Jest to bardzo ważna zależność, bo współrzędna $x$ wierzchołka leży właśnie na osi symetrii.

Jeśli chcemy zbadać miejsca zerowe funkcji, rozwiązujemy równanie

$$ax^2+bx+c=0.$$

Pomaga w tym wyróżnik

$$\Delta=b^2-4ac.$$

Gdy $\Delta>0$, funkcja ma dwa różne miejsca zerowe. Gdy $\Delta=0$, ma jedno miejsce zerowe podwójne. Gdy $\Delta<0$, nie ma miejsc zerowych rzeczywistych.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to

$$f(x)=a(x-p)^2+q.$$

Ta postać jest szczególnie wygodna, ponieważ pozwala natychmiast odczytać najważniejsze informacje o wierzchołku paraboli.

Z postaci kanonicznej odczytujemy:

• wierzchołek paraboli $W=(p,q)$,
• oś symetrii $x=p$,
• wartość najmniejszą, gdy $a>0$, albo największą, gdy $a<0$; jest nią liczba $q$.

Na przykład dla funkcji $f(x)=2(x-3)^2-5$ wierzchołek to $(3,-5)$, oś symetrii ma równanie $x=3$, a ponieważ $a=2>0$, funkcja ma wartość najmniejszą równą $-5$.

Przejście z postaci ogólnej do kanonicznej wykonuje się najczęściej przez dopełnianie kwadratu. Jest to bardzo przydatne, gdy trzeba narysować wykres, wyznaczyć ekstremum albo rozwiązać zadanie optymalizacyjne.

Postać iloczynowa ma wzór

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2),$$

gdy funkcja ma dwa miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$. Ta postać jest najlepsza do szybkiego odczytywania punktów przecięcia wykresu z osią $OX$.

Jeżeli $f(x)=0$, to przynajmniej jeden z czynników musi być równy zero. Dlatego z równań

$$x-x_1=0 \quad \text{lub} \quad x-x_2=0$$

otrzymujemy miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$.

Jeśli funkcja ma jedno miejsce zerowe podwójne, postać iloczynowa wygląda tak:

$$f(x)=a(x-x_0)^2.$$

Wtedy parabola nie przecina osi $OX$, lecz tylko jej dotyka. Taka sytuacja odpowiada warunkowi $\Delta=0$.

Postać iloczynowa pozwala też wygodnie wyznaczyć oś symetrii. Leży ona dokładnie w połowie między miejscami zerowymi, więc ma równanie

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}.$$

Wszystkie trzy postacie opisują tę samą funkcję, tylko podkreślają różne jej cechy.

• Postać ogólna: $ax^2+bx+c$ — wygodna do odczytania współczynników i punktu przecięcia z osią $OY$.
• Postać kanoniczna: $a(x-p)^2+q$ — najlepsza do odczytania wierzchołka, osi symetrii i wartości największej lub najmniejszej.
• Postać iloczynowa: $a(x-x_1)(x-x_2)$ — najlepsza do odczytania miejsc zerowych.

W zadaniach trzeba często zamieniać jedną postać na drugą. Rozwijanie nawiasów pozwala przejść do postaci ogólnej. Rozkład na czynniki prowadzi do postaci iloczynowej, jeśli istnieją miejsca zerowe. Dopełnianie kwadratu prowadzi do postaci kanonicznej.

Warto pamiętać, że nie każdą funkcję da się zapisać w postaci iloczynowej z dwoma różnymi miejscami zerowymi. Jeśli $\Delta<0$, funkcja nie ma miejsc zerowych rzeczywistych, więc w szkolnym zakresie podstawowym nie zapisujemy jej w tej postaci przez liczby rzeczywiste.

Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem osi symetrii. Oznacza to, że punkty po obu stronach tej osi, położone w tej samej odległości od niej, mają tę samą wartość funkcji.

Jeżeli znamy wierzchołek i jeden punkt paraboli, często można wyznaczyć wzór funkcji, podstawiając współrzędne do postaci kanonicznej. Jeżeli znamy miejsca zerowe i jeszcze jeden punkt, wygodnie użyć postaci iloczynowej. Gdy znamy trzy punkty wykresu, zwykle korzysta się z postaci ogólnej i układa układ równań dla $a$, $b$ i $c$.

W zadaniach maturalnych często trzeba:

• rozpoznać postać funkcji,
• odczytać z niej własności wykresu,
• przekształcić wzór do innej postaci,
• wyznaczyć miejsca zerowe, wierzchołek i oś symetrii,
• określić, czy funkcja ma maksimum czy minimum,
• naszkicować wykres na podstawie najważniejszych punktów.

Bardzo częstym błędem jest zły odczyt wierzchołka z postaci kanonicznej. Dla wzoru $f(x)=a(x-p)^2+q$ wierzchołek to $(p,q)$, a nie $(-p,q)$. Trzeba uważać na znak wewnątrz nawiasu.

Drugi częsty błąd dotyczy miejsc zerowych w postaci iloczynowej. Jeśli mamy czynnik $(x-4)$, to miejsce zerowe wynosi $4$, a nie $-4$. Jeśli mamy $(x+4)$, wtedy miejsce zerowe to $-4$.

W postaci ogólnej uczniowie mylą też rolę współczynników. Liczba $c$ nie wyznacza miejsc zerowych, tylko punkt przecięcia z osią $OY$. Z kolei znak $a$ mówi o tym, czy parabola jest skierowana w górę, czy w dół.

Najlepsza strategia w zadaniach to najpierw sprawdzić, która postać jest dana i jakie informacje można z niej od razu odczytać. Dopiero potem warto wykonywać dalsze obliczenia.