Przedziały liczbowe na osi

Przedział liczbowy to zbiór liczb rzeczywistych zawierający wszystkie liczby leżące między ustalonymi końcami. Używa się go wtedy, gdy chcemy opisać wiele liczb naraz, na przykład wszystkie liczby większe od $2$ i mniejsze lub równe $7$.

Przedziały zapisujemy za pomocą dwóch liczb oraz nawiasów. Rodzaj nawiasu pokazuje, czy liczba graniczna należy do zbioru. Dzięki temu jeden krótki zapis może zastąpić dłuższy opis słowny albo nierówność.

Najważniejsze są cztery typy przedziałów ograniczonych:

• $[a,b]$ — przedział domknięty, czyli $a \le x \le b$
• $(a,b)$ — przedział otwarty, czyli $a < x < b$
• $[a,b)$ — przedział półotwarty, czyli $a \le x < b$
• $(a,b]$ — przedział półotwarty, czyli $a < x \le b$

Nawias kwadratowy oznacza, że dany koniec należy do zbioru. Nawias okrągły oznacza, że dany koniec nie należy do zbioru. To podstawowa zasada, od której zależy poprawne odczytywanie zapisu.

Przykład: $[1,5)$ zawiera liczby od $1$ do $5$, przy czym $1$ należy do przedziału, a $5$ nie należy.

Niektóre przedziały nie mają jednego końca, bo ciągną się bez końca w lewo albo w prawo. Wtedy używamy symboli $-\infty$ lub $\infty$.

Przykłady:

• $(-\infty,3)$ — wszystkie liczby mniejsze od $3$
• $(-\infty,3]$ — wszystkie liczby mniejsze lub równe $3$
• $(2,\infty)$ — wszystkie liczby większe od $2$
• $[2,\infty)$ — wszystkie liczby większe lub równe $2$

Ważna zasada: przy $\infty$ i $-\infty$ zawsze stawiamy nawias okrągły, ponieważ nieskończoność nie jest liczbą rzeczywistą i nie może „należeć” do przedziału.

Cały zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez $\mathbb{R}$ i możemy zapisać jako $(-\infty,\infty)$.

Aby zaznaczyć przedział na osi, najpierw rysujemy oś liczbową i zaznaczamy liczby graniczne. Następnie decydujemy, czy punkt końcowy ma być zamalowany, czy niezamalowany.

• Punkt zamalowany oznacza, że liczba należy do przedziału.
• Punkt niezamalowany oznacza, że liczba nie należy do przedziału.
• Odcinek lub półprosta między zaznaczeniami pokazuje wszystkie liczby należące do zbioru.

Przykład: przedział $( -2,4]$ zaznaczamy od $-2$ do $4$, przy czym przy $-2$ rysujemy punkt niezamalowany, a przy $4$ zamalowany.

Przy przedziałach nieograniczonych rysujemy półprostą ze strzałką, pokazującą, że zbiór ciągnie się bez końca.

Przedziały bardzo często zapisują rozwiązania nierówności. Trzeba umieć przejść z nierówności do przedziału i odwrotnie.

Przykłady:

• $x > 1$ oznacza $(1,\infty)$
• $x \le -3$ oznacza $(-\infty,-3]$
• $2 \le x < 6$ oznacza $[2,6)$

Przedziały pojawiają się też przy wartości bezwzględnej. Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej.

Przykłady:

• $|x|<5$ oznacza liczby w odległości mniejszej niż $5$ od zera, czyli $(-5,5)$
• $|x|\le 5$ oznacza $[-5,5]$
• $|x-2|<3$ oznacza liczby w odległości mniejszej niż $3$ od liczby $2$, czyli $(-1,5)$

W liceum często łączy się więc interpretację geometryczną na osi z zapisem algebraicznym.

Dwa ważne działania na przedziałach to suma i część wspólna.

Suma przedziałów, oznaczana przez $\cup$, to zbiór liczb należących do co najmniej jednego z nich. Na osi odpowiada połączeniu zaznaczonych fragmentów.

Część wspólna, oznaczana przez $\cap$, to zbiór liczb należących jednocześnie do obu przedziałów. Na osi jest to fragment, który nakłada się w obu zaznaczeniach.

Przykłady:

• $[1,4] \cap (3,6) = (3,4]$
• $(-\infty,2) \cup [2,5] = (-\infty,5]$

Jeśli dwa zbiory nie mają wspólnych elementów, ich część wspólna jest zbiorem pustym, oznaczanym przez $\varnothing$.

Przy zadaniach maturalnych warto zawsze sprawdzać osobno oba końce przedziału: czy należą do każdego rozważanego zbioru, czy tylko do jednego. To pozwala uniknąć najczęstszego błędu z niewłaściwym nawiasem.