Wartość bezwzględna w liceum

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej to jej odległość od zera na osi liczbowej. Zapisujemy ją jako $|x|$. Ponieważ odległość nigdy nie jest ujemna, zawsze zachodzi $|x|\ge 0$.

Przykłady:

• $|5|=5$
• $|-5|=5$
• $|0|=0$

To pojęcie ma dwa ważne sensy: geometryczny i algebraiczny. Geometrycznie mówimy o odległości na osi liczbowej. Algebraicznie zapisujemy definicję przedziałową, która pozwala wykonywać obliczenia i rozwiązywać równania.

Definicja algebraiczna wartości bezwzględnej jest następująca:

• $|x|=x$ dla $x\ge 0$
• $|x|=-x$ dla $x<0$

Oznacza to, że jeśli liczba jest nieujemna, to wartość bezwzględna nic nie zmienia. Jeśli liczba jest ujemna, moduł zmienia jej znak na przeciwny.

Z tej definicji wynikają podstawowe własności:

• $|x|\ge 0$
• $|x|=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=0$
• $|-x|=|x|$
• $|ab|=|a||b|$
• jeśli $b\ne 0$, to $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$
• $|x|=\sqrt{x^2}$

Ostatnia własność jest bardzo ważna: nie wolno automatycznie pisać, że $\sqrt{x^2}=x$ dla każdego $x$. Poprawnie jest $\sqrt{x^2}=|x|$.

Wyrażenie $|x-a|$ oznacza odległość liczby $x$ od liczby $a$ na osi liczbowej. Dzięki temu łatwo rozumieć równania i nierówności z wartością bezwzględną.

Na przykład:

• $|x-3|$ to odległość liczby $x$ od $3$
• $|x+2|=|x-(-2)|$ to odległość liczby $x$ od $-2$
• odległość liczb $a$ i $b$ to $|a-b|$

Przykład: odległość liczb $2$ i $-5$ wynosi $|2-(-5)|=7$.

Ta interpretacja jest szczególnie przydatna w zadaniach maturalnych, bo pozwala szybko zauważyć, czy rozwiązaniem jest jeden punkt, dwa punkty czy cały przedział.

Najprostsze równania z modułem wynikają bezpośrednio z pojęcia odległości.

Dla równania $|x|=a$:

• gdy $a>0$, są dwa rozwiązania: $x=-a$ i $x=a$
• gdy $a=0$, jest jedno rozwiązanie: $x=0$
• gdy $a<0$, nie ma rozwiązań

Podobnie dla równania $|x-a|=b$:

• gdy $b>0$, rozwiązania to $x=a-b$ oraz $x=a+b$
• gdy $b=0$, rozwiązaniem jest $x=a$
• gdy $b<0$, brak rozwiązań

Przykład:

• $|x+4|=5$

Stąd $x+4=5$ lub $x+4=-5$, więc $x=1$ lub $x=-9$.

Przy bardziej złożonych zapisach można korzystać z definicji algebraicznej i rozpatrywać przypadki zależne od znaku wyrażenia stojącego pod wartością bezwzględną.

W zakresie podstawowym bardzo ważne są proste nierówności z modułem, oparte na interpretacji odległości.

Dla $a>0$:

• $|x|<a$ jest równoważne $-a<x<a$
• $|x|\le a$ jest równoważne $-a\le x\le a$
• $|x|>a$ jest równoważne $x<-a$ lub $x>a$
• $|x|\ge a$ jest równoważne $x\le -a$ lub $x\ge a$

Warto zapamiętać sens geometryczny:

• znak $<$ lub $\le$ oznacza liczby wewnątrz pewnego przedziału
• znak $>$ lub $\ge$ oznacza liczby poza tym przedziałem

Analogicznie można myśleć o nierównościach typu $|x-a|<b$ lub $|x-a|\le b$. Oznaczają one liczby leżące odpowiednio wewnątrz przedziału o środku w punkcie $a$ i promieniu $b$.

Najczęstsze błędy dotyczą nieuwzględnienia wszystkich przypadków albo zapomnienia, że wartość bezwzględna jest nieujemna.

Warto pamiętać:

• równanie $|\dots|=\text{liczba ujemna}$ nie ma rozwiązań
• równanie $|\dots|=a$ dla $a>0$ zwykle daje dwa przypadki
• w nierównościach z modułem trzeba odróżniać sytuacje „wewnątrz przedziału” i „poza przedziałem”
• zapis $\sqrt{x^2}$ upraszczamy do $|x|$, a nie od razu do $x$

Na maturze podstawowej często spotyka się zadania, w których trzeba:

• zinterpretować moduł jako odległość
• rozwiązać równanie typu $|x+c|=d$
• zamienić prostą nierówność z wartością bezwzględną na przedział lub sumę przedziałów
• odczytać własności wykresu funkcji $y=|x|$

Wykres funkcji $y=|x|$ ma kształt litery V, wierzchołek w punkcie $(0,0)$ i jest symetryczny względem osi $Oy$. Dla $x\ge 0$ mamy $y=x$, a dla $x<0$ mamy $y=-x$.