Logarytm i jego związek z potęgowaniem

Logarytm to sposób zapisu pytania o wykładnik potęgi. Gdy mamy wyrażenie $\log_a b$, pytamy: na jaką potęgę trzeba podnieść liczbę $a$, aby otrzymać $b$? Formalnie zapisujemy to tak:

$\log_a b=c \iff a^c=b$

To najważniejsza zależność w całym temacie. Dzięki niej można przechodzić z zapisu logarytmicznego do wykładniczego i odwrotnie. Przykładowo z równości $\log_2 8=3$ wynika $2^3=8$, a z $10^{-2}=0{,}01$ otrzymujemy $\log_{10} 0{,}01=-2$.

Logarytm nie jest nowym „oderwanym” działaniem, tylko odwrotnością potęgowania. Dlatego większość zadań o logarytmach rozwiązuje się przez przypomnienie sobie prostych potęg liczby będącej podstawą.

Aby logarytm był określony, muszą być spełnione trzy warunki:

• $a>0$
• $a\neq 1$
• $b>0$

Pierwsze dwa dotyczą podstawy logarytmu, a trzeci liczby logarytmowanej. Nie istnieją więc na przykład wyrażenia $\log_{-2} 8$, $\log_1 5$ oraz $\log_3 0$.

Dlaczego tak jest? Podstawa musi być dodatnia i różna od $1$, bo tylko wtedy potęgowanie daje sensowną funkcję odwrotną. Liczba logarytmowana musi być dodatnia, ponieważ dla dopuszczalnej podstawy potęgi $a^x$ są zawsze dodatnie. To oznacza, że nie obliczamy logarytmu z zera ani z liczby ujemnej.

Warto zapamiętać kilka podstawowych równości wynikających wprost z definicji:

• $\log_a 1=0$, bo $a^0=1$
• $\log_a a=1$, bo $a^1=a$
• $\log_a a^k=k$, jeśli $a$ spełnia warunki podstawy

Przykłady:

• $\log_5 1=0$
• $\log_7 7=1$
• $\log_3 27=3$, bo $3^3=27$
• $\log_4 \frac{1}{16}=-2$, bo $4^{-2}=\frac{1}{16}$

W zadaniach maturalnych często trzeba najpierw rozpoznać, jaka potęga daje daną liczbę. To zwykle prostsze niż wykonywanie długich przekształceń.

Dla dodatnich liczb, przy tej samej dopuszczalnej podstawie, obowiązują trzy kluczowe wzory:

• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
• $\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$
• $\log_a(x^k)=k\log_a x$

Te wzory wynikają z praw działań na potęgach, ponieważ logarytm jest związany z potęgowaniem. Trzeba jednak uważać na typowe błędy. Nie wolno zamieniać $\log_a(x+y)$ na sumę logarytmów. Wzór na sumę dotyczy tylko iloczynu, nie dodawania.

Przykłady:

• $\log_2(8\cdot 4)=\log_2 8+\log_2 4=3+2=5$
• $\log_2\left(\frac{64}{8}\right)=\log_2 64-\log_2 8=6-3=3$
• $\log_2(3^4)=4\log_2 3$

Takie przekształcenia pojawiają się bardzo często w zadaniach rachunkowych.

To, jak zachowuje się logarytm, zależy od podstawy.

Jeżeli $a>1$, to funkcja wykładnicza $a^x$ jest rosnąca. Oznacza to, że większym liczbom dodatnim odpowiadają większe logarytmy. Gdy więc $x>y>0$, mamy $\log_a x>\log_a y$.

Jeżeli $0<a<1$, to funkcja wykładnicza $a^x$ jest malejąca. Wtedy porządek się odwraca: z $x>y>0$ wynika $\log_a x<\log_a y$.

Ta własność przydaje się przy porównywaniu wartości logarytmów bez dokładnego obliczania ich wartości. To ważne szczególnie wtedy, gdy liczby nie są prostymi potęgami podstawy.

W praktyce często spotyka się dwa szczególne logarytmy.

Logarytm dziesiętny ma podstawę $10$ i zapisuje się go jako $\log x$ lub dokładniej $\log_{10} x$. Przykładowo:

• $\log 100=2$
• $\log 1000=3$

Logarytm naturalny ma podstawę $e$ i zapisuje się go jako $\ln x$. Liczba $e$ jest dodatnia i niewymierna; w przybliżeniu wynosi około $2{,}71828$. W liceum najważniejsze jest to, by rozpoznawać, że $\ln x$ to po prostu szczególny logarytm.

W zadaniach szkolnych trzeba umieć odczytać zapis, sprawdzić warunki istnienia i zastosować podstawowe wzory, niezależnie od tego, czy podstawa jest równa $10$, $e$, czy innej liczbie dodatniej różnej od $1$.

Najczęstsze typy zadań to:

• zamiana zapisu logarytmicznego na wykładniczy i odwrotnie,
• obliczanie prostych logarytmów przez rozpoznanie potęgi,
• sprawdzanie, czy wyrażenie logarytmiczne ma sens,
• upraszczanie wyrażeń z użyciem wzorów na iloczyn, iloraz i potęgę,
• porównywanie logarytmów na podstawie własności zależnych od podstawy.

Najczęstsze błędy:

• pomijanie warunku $b>0$ i próby liczenia logarytmu z liczby niedodatniej,
• dopuszczanie podstawy $1$ lub ujemnej,
• mylenie $\log_a(x+y)$ z $\log_a x+\log_a y$,
• błędne odczytywanie definicji, na przykład zamiana ról podstawy i argumentu,
• zapominanie, że przy podstawie z przedziału $(0,1)$ nierówności odwracają kierunek porównania.

Najlepsza strategia to zawsze zaczynać od definicji $\log_a b=c \iff a^c=b$, a dopiero potem korzystać z gotowych wzorów.