Monotoniczność potęgowania i porównywanie potęg

Monotoniczność mówi, jak zmienia się wartość potęgi, gdy zmienia się wykładnik. W liceum najczęściej rozpatrujemy potęgi postaci $a^x$ dla dodatniej podstawy $a$ różnej od $1$.

Najważniejsza zasada jest prosta:

• jeśli $a>1$, to funkcja $a^x$ jest rosnąca,
• jeśli $0<a<1$, to funkcja $a^x$ jest malejąca.

To oznacza, że dla podstawy większej od $1$ większy wykładnik daje większą wartość potęgi. Natomiast dla podstawy z przedziału $(0,1)$ działa odwrotnie: większy wykładnik daje mniejszą wartość.

Przykłady:

• $2^3<2^5$, bo $2>1$,
• $\left(\frac{1}{2}\right)^3>\left(\frac{1}{2}\right)^5$, bo $0<\frac{1}{2}<1$.

To jedna z podstawowych własności wykorzystywanych przy porównywaniu potęg i rozwiązywaniu prostych nierówności wykładniczych na poziomie szkoły średniej.

Jeśli dwie potęgi mają tę samą podstawę, porównujemy wykładniki, ale zawsze musimy uwzględnić, jaka jest ta podstawa.

Dla $a>1$:

• z $x<y$ wynika $a^x<a^y$,
• z $x>y$ wynika $a^x>a^y$.

Dla $0<a<1$:

• z $x<y$ wynika $a^x>a^y$,
• z $x>y$ wynika $a^x<a^y$.

Przykłady:

• $3^4>3^2$, bo podstawa $3$ jest większa od $1$,
• $\left(\frac{1}{5}\right)^4<\left(\frac{1}{5}\right)^2$, bo podstawa należy do przedziału $(0,1)$.

Szczególny przypadek stanowi podstawa $1$. Dla każdego $x$ mamy $1^x=1$, więc wszystkie takie potęgi są sobie równe.

W zadaniach maturalnych bardzo często wystarczy właśnie rozpoznać typ podstawy i wtedy porównanie staje się niemal automatyczne.

Nie zawsze potęgi mają od razu tę samą podstawę. Wtedy warto przekształcić zapis.

Najwygodniejsze metody to:

• sprowadzenie do wspólnej podstawy,
• sprowadzenie do wspólnego wykładnika.

Sprowadzenie do wspólnej podstawy:

• $16^3=(2^4)^3=2^{12}$,
• $8^4=(2^3)^4=2^{12}$.

Po przekształceniu widać, że liczby są równe.

Inny przykład:

• $27^2=(3^3)^2=3^6$,
• $9^3=(3^2)^3=3^6$.

Znów otrzymujemy równość.

Czasem można wykorzystać wspólny wykładnik, np. porównać $2^{30}$ i $3^{20}$: $2^{30}=(2^3)^{10}=8^{10}$, a $3^{20}=(3^2)^{10}=9^{10}$, więc $2^{30}<3^{20}$.

Ważny wzór:

• $(a^m)^n=a^{mn}$.

To właśnie ten wzór najczęściej pozwala przekształcić niewygodne potęgi do postaci łatwej do porównania.

Wykładnik ujemny oznacza odwrotność odpowiedniej potęgi dodatniej:

• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ dla $a\neq 0$.

Dlatego przed porównaniem takich liczb często warto usunąć minus z wykładnika, przechodząc do ułamka.

Przykłady:

• $2^{-3}=\frac{1}{8}$,
• $2^{-1}=\frac{1}{2}$,

więc $2^{-3}<2^{-1}$.

Jeszcze ważniejszy przykład:

• $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=2^3=8$,
• $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2$,

więc $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}>\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$.

Widać, że sam znak wykładnika nie wystarcza do oceny. Trzeba uważać, czy wygodniej porównywać bezpośrednio, czy najpierw skorzystać z odwrotności.

To częste źródło błędów: uczniowie patrzą tylko na liczby w wykładnikach, zapominając o znaczeniu podstawy i o tym, że ujemny wykładnik zmienia zapis na odwrotność.

Monotoniczność potęgowania jest bardzo przydatna przy rozwiązywaniu nierówności.

Jeżeli podstawy są takie same, można porównać wykładniki.

Dla podstawy większej od $1$:

• z $2^x<2^7$ wynika $x<7$,
• z $5^x\ge 5^3$ wynika $x\ge 3$.

Dla podstawy z przedziału $(0,1)$ kierunek się odwraca:

• z $\left(\frac{1}{3}\right)^x>\left(\frac{1}{3}\right)^4$ wynika $x<4$,
• z $\left(\frac{1}{2}\right)^x\le \left(\frac{1}{2}\right)^6$ wynika $x\ge 6$.

Schemat postępowania:

• sprawdź, czy podstawy są jednakowe,
• ustal, czy podstawa jest większa od $1$, czy między $0$ a $1$,
• porównaj wykładniki,
• przy podstawie z przedziału $(0,1)$ odwróć znak nierówności.

Takie zadania pojawiają się zarówno w formie rachunkowej, jak i w testach zamkniętych.

Najczęstszy błąd polega na mechanicznym porównywaniu wykładników bez sprawdzenia podstawy. To działa tylko wtedy, gdy dobrze rozpoznasz, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.

Zapamiętaj:

• dla $a>1$ większy wykładnik daje większą potęgę,
• dla $0<a<1$ większy wykładnik daje mniejszą potęgę,
• dla $a=1$ wszystkie potęgi są równe $1$,
• przy wykładnikach ujemnych często najlepiej przejść do odwrotności.

Dobra strategia w zadaniu:

• rozłóż liczby typu $8$, $16$, $25$, $27$, $32$, $81$ na potęgi prostszych liczb,
• korzystaj ze wzoru $(a^m)^n=a^{mn}$,
• nie porównuj „na oko” wartości dużych potęg, tylko je przekształcaj.

Na maturze szczególnie przydaje się umiejętność szybkiego zauważenia, że np. $16=2^4$, $27=3^3$, $81=3^4$. Dzięki temu nawet trudniej wyglądające porównania da się sprowadzić do prostego sprawdzenia wykładników.