Równania z wartością bezwzględną w liceum

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Zapisujemy ją za pomocą dwóch pionowych kresek, na przykład $|x|$. Ponieważ odległość nie może być ujemna, zawsze zachodzi nierówność $|x|\ge 0$.

To od razu daje ważny wniosek przy rozwiązywaniu równań: jeśli po jednej stronie mamy wartość bezwzględną, a po drugiej liczbę ujemną, to równanie nie ma rozwiązań. Na przykład równanie $|x-3|=-2$ jest sprzeczne.

Warto pamiętać o prostych przykładach:

• $|5|=5$
• $|-5|=5$
• $|0|=0$

W liceum bardzo często spotyka się proste równania z wartością bezwzględną postaci $|A|=b$, gdzie $A$ jest wyrażeniem z niewiadomą, a $b$ jest liczbą.

Jeżeli $b>0$, to mamy dwa przypadki:

• $A=b$
• $A=-b$

Jeżeli $b=0$, to jest tylko jeden przypadek:

• $A=0$

Jeżeli $b<0$, rozwiązań nie ma.

Ta zasada wynika bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej. Skoro liczba może być oddalona od zera o $b$, to może być równa $b$ albo liczbie przeciwnej $-b$.

Najpierw rozbijamy równanie na dwa równania liniowe:

• $x+4=5$
• $x+4=-5$

Następnie rozwiązujemy każde z nich osobno:

• z $x+4=5$ otrzymujemy $x=1$
• z $x+4=-5$ otrzymujemy $x=-9$

Zatem zbiorem rozwiązań jest $\{-9,1\}$.

To najważniejszy schemat postępowania w prostych równaniach z wartością bezwzględną. Najpierw usuwamy kreski, tworząc dwa przypadki, a potem rozwiązujemy zwykłe równania liniowe.

Równanie $|x-a|=r$ można rozumieć geometrycznie. Oznacza ono, że liczba $x$ leży w odległości $r$ od liczby $a$ na osi liczbowej.

Przykład: $|x+4|=5$ to to samo co $|x-(-4)|=5$. Szukamy więc liczb oddalonych o $5$ od punktu $-4$. Na osi liczbowej będą to dwa punkty:

• $-4-5=-9$
• $-4+5=1$

Ta interpretacja bardzo pomaga sprawdzać, czy wynik ma sens. Jeśli środek to $-4$, a odległość wynosi $5$, to rozwiązania muszą leżeć symetrycznie po obu stronach liczby $-4$.

Warto zwrócić uwagę na dwa szczególne przypadki.

Pierwszy to równanie z zerem po prawej stronie, na przykład $|x-7|=0$. Wtedy rozwiązanie jest tylko jedno, bo jedynie liczba $0$ ma wartość bezwzględną równą zero. Otrzymujemy wtedy po prostu $x-7=0$, czyli $x=7$.

Drugi przypadek to liczba ujemna po prawej stronie, na przykład $|x+2|=-3$. Takie równanie nie ma rozwiązań, ponieważ wartość bezwzględna nigdy nie daje wyniku ujemnego.

Na sprawdzianach i maturze często właśnie rozpoznanie tych przypadków pozwala szybko zdobyć punkty.

Najczęstszy błąd polega na zapisaniu tylko jednego równania zamiast dwóch. Dla równania $|x+4|=5$ nie wolno napisać tylko $x+4=5$; trzeba jeszcze uwzględnić $x+4=-5$.

Inny błąd to nieuwzględnienie, że prawa strona musi być nieujemna. Jeśli ktoś próbuje rozwiązywać $|x-1|=-6$, to wykonuje niepotrzebne rachunki, bo takie równanie od razu jest sprzeczne.

Często pojawia się też błąd rachunkowy przy przenoszeniu liczb na drugą stronę. Dlatego po znalezieniu wyników warto je sprawdzić przez podstawienie do równania wyjściowego.

Po rozwiązaniu równania wynik najlepiej zapisać jako zbiór rozwiązań. Na przykład:

• $x=1$ lub $x=-9$
• zbiór rozwiązań: $\{-9,1\}$

Jeżeli rozwiązań nie ma, zapisujemy $\varnothing$.

Przed sprawdzianem warto umieć:

• wyjaśnić, czym jest wartość bezwzględna jako odległość
• rozbić równanie $|A|=b$ na dwa przypadki
• rozpoznać, kiedy równanie nie ma rozwiązań
• sprawdzić wynik przez podstawienie
• zinterpretować rozwiązanie na osi liczbowej

To niewielki dział, ale bardzo ważny, bo uczy poprawnego rozumowania i często pojawia się w zadaniach podstawowych.