Potęgi o wykładniku całkowitym i wymiernym

Potęgowanie to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. Dla liczby $a$ i dodatniej liczby całkowitej $n$ wyrażenie $a^n$ oznacza iloczyn $n$ czynników równych $a$. Liczbę $a$ nazywamy podstawą potęgi, a liczbę $n$ wykładnikiem.

W liceum pracuje się nie tylko z wykładnikami naturalnymi, ale także z całkowitymi i wymiernymi. Trzeba więc rozumieć, jak interpretować wykładnik równy $0$, liczbę ujemną oraz ułamek. To właśnie pozwala przekształcać trudniejsze wyrażenia algebraiczne i porównywać wartości potęg.

Dla każdej liczby $a\neq 0$ zachodzi $a^0=1$. Jest to bardzo ważna własność, często używana przy upraszczaniu wyrażeń. Należy pamiętać, że dotyczy ona niezerowej podstawy.

Jeśli wykładnik jest ujemny, korzystamy z definicji $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ dla $a\neq 0$. Oznacza to, że znak minus w wykładniku nie zmienia znaku liczby, tylko tworzy odwrotność. Na przykład $2^{-3}=\frac{1}{8}$, a nie $-8$.

Potęgi o wykładnikach całkowitych występują zarówno przy liczbach dodatnich, jak i ujemnych. Trzeba jednak uważać na nawiasy. Wyrażenie $(-2)^4$ jest równe $16$, ale $-2^4$ oznacza $-(2^4)$, czyli $-16$.

Najważniejsze wzory obowiązujące dla odpowiednich liczb to:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ dla $a\neq 0$
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $(ab)^n=a^n b^n$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ dla $b\neq 0$

Te własności dotyczą mnożenia, dzielenia i potęgowania potęg. Nie wolno ich stosować do dodawania i odejmowania. Na przykład $a^2+a^3$ nie jest równe $a^5$.

W zadaniach warto najpierw rozpoznać typ działania. Jeśli widzisz tę samą podstawę i mnożenie, dodajesz wykładniki. Jeśli tę samą podstawę i dzielenie, odejmujesz wykładniki. Jeśli potęga stoi na potędze, mnożysz wykładniki.

Potęga o wykładniku wymiernym łączy potęgowanie z pierwiastkowaniem. Dla dodatniej podstawy $a$ oraz liczb $m\in \mathbb{Z}$ i $n\in \mathbb{N}$, $n\geq 2$, przyjmujemy:

• $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
• $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Przykładowo:

• $8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2=4$
• $16^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16})^3=8$
• $a^{\frac{3}{2}}=\sqrt{a^3}=(\sqrt{a})^3$

W szkolnych zadaniach najbezpieczniej zakładać, że przy potęgach o wykładniku wymiernym podstawa jest dodatnia. Dzięki temu zapis jest jednoznaczny i nie prowadzi do problemów z istnieniem pierwiastka parzystego stopnia.

Bardzo ważna jest zależność między wartością podstawy a zachowaniem potęgi.

Jeśli $a>1$, to większy wykładnik daje większą wartość potęgi. Dlatego $2^6>2^4$.

Jeśli $0<a<1$, sytuacja jest odwrotna: większy wykładnik daje mniejszą wartość. Stąd $\left(\frac{1}{2}\right)^5<\left(\frac{1}{2}\right)^3$.

Ta własność pomaga porównywać liczby bez pełnego obliczania. Jest też przydatna przy rozwiązywaniu prostych zadań maturalnych, w których trzeba ustalić kolejność liczb zapisanych w postaci potęg.

Najczęstsze błędy wynikają z mechanicznego stosowania wzorów bez sprawdzenia rodzaju działania.

• Nie wolno zamieniać $a^m+a^n$ na $a^{m+n}$.
• Ujemny wykładnik nie oznacza liczby ujemnej, tylko odwrotność.
• Trzeba uważać na nawiasy przy ujemnej podstawie, na przykład $(-3)^2\neq -3^2$.
• W potęgach o wykładniku wymiernym należy sprawdzać, czy wyrażenie ma sens w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dobra strategia w zadaniach to:

• rozdzielić działanie na małe kroki,
• zapisywać wykładniki jako sumy, różnice lub iloczyny zgodnie z prawami działań,
• w razie potrzeby przejść od potęgi wymiernej do pierwiastka,
• na końcu sprawdzić, czy nie złamano warunku typu $a\neq 0$ lub $a>0$.