Działania na liczbach rzeczywistych

Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby, które można przedstawić na osi liczbowej. Należą do nich liczby całkowite, ułamki, liczby dziesiętne skończone i nieskończone okresowe, a także liczby niewymierne, takie jak $\sqrt{2}$ czy $\pi$.

W zadaniach licealnych działania na liczbach rzeczywistych obejmują przede wszystkim dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie i wartość bezwzględną. Bardzo ważne jest nie tylko poprawne liczenie, ale też uzasadnianie, dlaczego dane przekształcenie jest dozwolone.

Trzeba pamiętać, że nie każde działanie można wykonać dla dowolnej liczby. Najważniejsze ograniczenie dotyczy dzielenia przez zero: wyrażenia typu $\frac{a}{0}$ nie są określone. Przy pierwiastkach parzystego stopnia w liczbach rzeczywistych liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna.

W złożonych wyrażeniach obowiązuje ustalona kolejność działań. Najpierw oblicza się nawiasy, potem potęgi i pierwiastki, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.

Jeśli w wyrażeniu występują działania równorzędne, wykonuje się je od lewej do prawej. Dotyczy to szczególnie mnożenia i dzielenia oraz dodawania i odejmowania. Dlatego wyrażenie $18:3\cdot 2$ obliczamy jako $(18:3)\cdot 2$, a nie $18:(3\cdot 2)$.

Nawiasy mogą całkowicie zmienić wynik. Porównaj:

• $2+3\cdot 4=14$
• $(2+3)\cdot 4=20$

W zadaniach maturalnych częste błędy wynikają właśnie z pomijania nawiasów albo z wykonywania działań „po kolei”, bez uwzględnienia ich ważności.

W rachunkach korzysta się z kilku podstawowych praw.

Prawo przemienności:

• $a+b=b+a$
• $ab=ba$

Oznacza to, że w dodawaniu i mnożeniu można zamieniać kolejność liczb. Nie wolno tak robić przy odejmowaniu ani dzieleniu.

Prawo łączności:

• $(a+b)+c=a+(b+c)$
• $(ab)c=a(bc)$

Pozwala ono inaczej grupować składniki lub czynniki bez zmiany wyniku. To szczególnie przydatne przy wygodnym liczeniu w pamięci.

Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania i odejmowania:

• $a(b+c)=ab+ac$
• $a(b-c)=ab-ac$

To prawo stosuje się przy usuwaniu nawiasów i przekształcaniu wyrażeń algebraicznych. Trzeba uważać, aby czynnik przed nawiasem wymnożyć przez każdy składnik znajdujący się w nawiasie.

Liczba $0$ jest elementem neutralnym dodawania, ponieważ $a+0=a$. Liczba $1$ jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ $a\cdot 1=a$. Są to własności bardzo często wykorzystywane przy upraszczaniu wyrażeń.

Do każdej liczby $a$ istnieje liczba przeciwna $-a$, taka że $a+(-a)=0$. Liczby przeciwne mają tę samą odległość od zera, ale leżą po przeciwnych stronach osi liczbowej.

Dla każdej liczby różnej od zera istnieje liczba odwrotna $\frac{1}{a}$, taka że $a\cdot \frac{1}{a}=1$. Liczba $0$ nie ma odwrotności, dlatego nie wolno dzielić przez zero.

W praktyce warto odróżniać liczbę przeciwną od odwrotnej:

• do $5$ liczba przeciwna to $-5$, a odwrotna to $\frac{1}{5}$
• do $-2$ liczba przeciwna to $2$, a odwrotna to $-\frac{1}{2}$

Potęga to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. Dla liczb rzeczywistych i odpowiednich wykładników korzysta się z podstawowych wzorów:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ dla $a\neq 0$
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $(ab)^n=a^n b^n$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ dla $b\neq 0$

Ważne są też zależności:

• $a^1=a$
• $a^0=1$ dla $a\neq 0$

Pierwiastek jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Na przykład $\sqrt{49}=7$, bo $7^2=49$. Symbol $\sqrt{49}$ oznacza pierwiastek główny, czyli nieujemny. Dlatego nie zapisujemy tu $\pm 7$.

Dla pierwiastków trzeba pamiętać:

• pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie jest liczbą rzeczywistą
• pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje, np. $\sqrt[3]{-8}=-2$

W zadaniach rachunkowych trzeba zwracać uwagę na nawiasy, zwłaszcza przy liczbach ujemnych i potęgach.

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Z definicji jest więc zawsze nieujemna. Dla liczby $a$ mamy:

• $|a|=a$, gdy $a\geq 0$
• $|a|=-a$, gdy $a<0$

Przykłady:

• $|5|=5$
• $|{-5}|=5$
• $|0|=0$

Wartość bezwzględna nie zmienia „wielkości” liczby, ale usuwa informację o jej znaku. Dlatego nie można mylić jej z liczbą przeciwną. Na przykład liczba przeciwna do $-4$ to $4$, ale liczba przeciwna do $4$ to $-4$, natomiast wartość bezwzględna obu tych liczb wynosi $4$.

W prostych równaniach, takich jak $|x+4|=5$, korzysta się z faktu, że odległość może być osiągnięta po dwóch stronach zera, więc rozpatruje się dwa przypadki: $x+4=5$ lub $x+4=-5$.

Najczęstszy błąd to łamanie kolejności działań, zwłaszcza przy wyrażeniach z nawiasami, potęgami i wartością bezwzględną. Zawsze warto zaznaczyć sobie, które działanie wykonujesz jako pierwsze.

Często mylone są też prawa działań. Nie wolno zakładać, że:

• $a-b=b-a$
• $a:b=b:a$
• $(a+b)^2=a^2+b^2$

Błąd pojawia się również przy potęgach liczb ujemnych. Trzeba odróżniać:

• $(-2)^2=4$
• $-2^2=-(2^2)=-4$

Przy przekształceniach algebraicznych kontroluj, czy nie dzielisz przez zero i czy liczba pod pierwiastkiem parzystego stopnia jest nieujemna. W zadaniach egzaminacyjnych punkty często traci się nie na trudnych pomysłach, lecz na prostych błędach rachunkowych.

Dobra strategia to:

• przepisywać wyrażenie etapami
• używać nawiasów pomocniczych
• sprawdzać, czy wynik jest zgodny z własnościami działań
• odróżniać liczbę przeciwną, odwrotną i wartość bezwzględną