÷×

Wzory logarytmiczne: iloczyn, iloraz, potęga

Matematyka

Zestaw wyjaśnia najważniejsze wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi oraz warunki ich stosowania. Pomaga też przećwiczyć przekształcanie wyrażeń logarytmicznych i rozpoznawanie typowych błędów maturalnych.

8 fiszek16 pytań · 2 etapynotatkaSzkoła średnia

Pobierz test do druku

1.Logarytm

Logarytm przy podstawie $a$ z liczby $b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ . Zapis: $\log_a b = x \iff a^x = b$ . W liceum zakładamy zwykle, że $a>0$ , $a\neq 1$ oraz $b>0$ .

2.Podstawa logarytmu

To liczba $a$ w zapisie $\log_a b$ . Musi być dodatnia i różna od $1$ , bo tylko wtedy potęgowanie o takiej podstawie daje sensowne i jednoznaczne odwzorowanie dla logarytmów.

3.Logarytm iloczynu

Wzór $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ działa dla $a>0$ , $a\neq 1$ oraz $x>0$ , $y>0$ . Pozwala zamienić mnożenie argumentów na dodawanie logarytmów.

4.Logarytm ilorazu

Wzór $\log_a\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$ obowiązuje dla $x>0$ i $y>0$ . Jest przydatny przy upraszczaniu ułamków w argumentach logarytmów.

5.Logarytm potęgi

Wzór $\log_a(x^k)=k\log_a x$ działa dla $x>0$ . Wykładnik można „wynieść przed logarytm”, co bardzo ułatwia obliczenia i przekształcenia.

6.Warunek istnienia logarytmu

Logarytm $\log_a b$ istnieje tylko wtedy, gdy $a>0$ , $a\neq 1$ i $b>0$ . Przy stosowaniu wzorów trzeba pilnować, by każdy argument logarytmu był dodatni.

7.Argument logarytmu

Argument to wyrażenie stojące pod znakiem logarytmu, np. w $\log_2(3x-1)$ argumentem jest $3x-1$ . Musi być dodatni, czyli tu: $3x-1>0$ .

8.Upraszczanie logarytmów

Wzory na iloczyn, iloraz i potęgę pozwalają rozbijać jeden trudniejszy logarytm na kilka prostszych albo scalać kilka logarytmów w jeden. To podstawowa technika rachunkowa w tym dziale.

Notatka

Czym jest logarytm

Logarytm jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Jeśli $a^x=b$ , to $\log_a b=x$ . Odczytujemy go jako pytanie: „do jakiej potęgi trzeba podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ ?”. W liceum zawsze pilnujemy warunków istnienia: podstawa musi być dodatnia i różna od $1$ , a argument dodatni. Bez tych warunków logarytm nie ma sensu w zbiorze liczb rzeczywistych.

Wzór na logarytm iloczynu

Najważniejsza własność mówi, że logarytm iloczynu zamienia mnożenie na dodawanie: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ . To bardzo wygodne przy upraszczaniu wyrażeń, bo pozwala rozbić jeden trudniejszy logarytm na kilka prostszych. Trzeba jednak pamiętać o dodatniości argumentów. W praktyce często najpierw rozkłada się liczbę pod logarytmem na czynniki, a potem zapisuje wynik jako sumę logarytmów.

Wzór na logarytm ilorazu

Dla ilorazu działa analogiczna reguła, ale z odejmowaniem: $\log_a\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$ . Ten wzór jest szczególnie przydatny przy upraszczaniu ułamków i porównywaniu wielkości zapisanych logarytmicznie. Warunek dodatniości dotyczy obu części ilorazu, więc $x>0$ i $y>0$ . Nie wolno traktować tego wzoru jak zwykłego dzielenia logarytmów.

Wzór na logarytm potęgi

Gdy w argumencie stoi potęga, wykładnik można przenieść przed logarytm: $\log_a(x^k)=k\log_a x$ . To jeden z najczęściej używanych wzorów w zadaniach rachunkowych. Dzięki niemu da się łatwo upraszczać wyrażenia typu $\log_2(8^3)$ albo przekształcać zapisy z niewygodnymi wykładnikami. Warto zapamiętać, że ten wzór dotyczy dodatniego $x$ .

Jak rozpoznawać argument i podstawę

W zapisie $\log_a b$ podstawą jest mała liczba u dołu, a argumentem to, co stoi po prawej stronie. W wyrażeniu $\log_2(3x-1)$ podstawą jest $2$ , a argumentem $3x-1$ . To ważne, bo w zadaniach maturalnych często trzeba najpierw poprawnie wskazać, co wolno przekształcać. Jeśli argument zawiera niewiadomą, trzeba jeszcze dopisać warunek dodatniości.

Typowe przekształcenia

Najczęstsza strategia to rozbijanie jednego logarytmu na kilka albo scalanie kilku logarytmów w jeden. Iloczyn przechodzi w sumę, iloraz w różnicę, a potęga w mnożnik przed logarytmem. Dzięki temu można znacznie uprościć rachunki, np. zamieniając $\log_3(2x)$ na $\log_3 2+\log_3 x$ . Trzeba tylko uważać, by nie stosować tych wzorów do sumy lub różnicy w nawiasie.

Najczęstsze błędy

Błędem jest zapisywanie $\log_a(xy)$ jako iloczynu logarytmów albo mylenie $\log_a(x+y)$ z $\log_a x+\log_a y$ . Niepoprawne jest też pomijanie warunków istnienia: argument logarytmu musi być dodatni. W zadaniach maturalnych warto zawsze sprawdzić, czy po przekształceniu nie powstał zapis typu $\log_a 0$ albo $\log_a$ liczby ujemnej, bo taki logarytm nie istnieje.